《二次函數的應用》教案（精選5篇）
作為一名默默奉獻的教育工作者，就難以避免地要準備教案，借助教案可以更好地組織教學活動。那么問題來了，教案應該怎么寫？下面是小編為大家整理的《二次函數的應用》教案，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
《二次函數的應用》教案 1
教學設計思想：
本節主要研究的是與二次函數有關的實際問題，重點是實際應用題，在教學過程中讓學生運用二次函數的知識分析問題、解決問題，在運用中體會二次函數的實際意義。二次函數與一元二次方程、一元二次不等式有密切聯系，在學習過程中應把二次函數與之有關知識聯系起來，融會貫通，使學生的認識更加深刻。另外，在利用圖像法解方程時，圖像應畫得準確一些，使求得的解更準確，在求解過程中體會數形結合的思想。
教學目標：
1.知識與技能
會運用二次函數計其圖像的知識解決現實生活中的實際問題。
2.過程與方法
通過本節內容的學習，提高自主探索、團結合作的能力，在運用知識解決問題中體會二次函數的應用意義及數學轉化思想。
3.情感、態度與價值觀
通過學生之間的討論、交流和探索，建立合作意識和提高探索能力，激發學習的興趣和欲望。
教學重點：解決與二次函數有關的實際應用題。
教學難點：二次函數的應用。
教學媒體：幻燈片，計算器。
教學安排：3課時。
教學方法：小組討論，探究式。
教學過程：
第一課時：
Ⅰ.情景導入：
師：由二次函數的一般形式y= (a0)，你會有什么聯想?
生：老師，我想到了一元二次方程的一般形式 (a0)。
師：不錯，正因為如此，有時我們就將二次函數的有關問題轉化為一元二次方程的問題來解決。
現在大家來做下面這兩道題：(幻燈片顯示)
1.解方程 。
2.畫出二次函數y= 的圖像。
教師找兩個學生解答，作為板書。
Ⅱ.新課講授
同學們思考下面的問題，可以共同討論：
1.二次函數y= 的圖像與x軸交點的橫坐標是什么?它與方程 的根有什么關系?
2.如果方程 (a0)有實數根，那么它的根和二次函數y= 的圖像與x軸交點的橫坐標有什么關系?
生甲：老師，由畫出的圖像可以看出與x軸交點的橫坐標是-1、2;方程的兩個根是-1、2，我們發現方程的兩個解正好是圖像與x軸交點的橫坐標。
生乙：我們經過討論，認為如果方程 (a0)有實數根，那么它的根等于二次函數y= 的圖像與x軸交點的橫坐標。
師：說的很好;
教師總結：一般地，如果二次函數y= 的圖像與x軸相交，那么交點的橫坐標就是一元二次方程 =0的根。
師：我們知道方程的兩個解正好是二次函數圖像與x軸的兩個交點的橫坐標，那么二次函數圖像與x軸的交點問題可以轉化為一元二次方程的根的問題，我們共同研究下面問題。
[學法]：通過實例，體會二次函數與一元二次方程的關系，解一元二次方程實質上就是求二次函數為0的自變量x的取值，反映在圖像上就是求拋物線與x軸交點的橫坐標。
問題：已知二次函數y= 。
(1)觀察這個函數的圖像(圖34-9)，一元二次方程 =0的兩個根分別在哪兩個整數之間?
(2)①由在0至1范圍內的x值所對應的y值(見下表)，你能說出一元二次方程 =0精確到十分位的正根嗎?
x 0 0.1 0.2[ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
y -1 -0.89 -0.76 -0.61 -0.44 -0.25 -0.04 -0.19 0.44 0.71 1
②由在0.6至0.7范圍內的x值所對應的y值(見下表)，你能說出一元二次方程 =0精確到百分位的正根嗎?
x 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70
y -0.040 -0.018 0.004 0.027 0.050 0.073 0.096 0.119 0.142 0.166 0.190
(3)請仿照上面的方法，求出一元二次方程 =0的另一個精確到十分位的根。
(4)請利用一元二次方程的求根公式解方程 =0，并檢驗上面求出的近似解。
第一問很簡單，可以請一名同學來回答這個問題。
生：一個根在(-2，-1)之間，另一個在(0，1)之間;根據上面我們得出的結論。
師：回答的很正確;我們知道圖像與x軸交點的橫坐標就是方程的根，所以我們可以通過觀看圖象就能說出方程的兩個根�，F在我們共同解答第(2)問。
教師分析：我們知道方程的一個根在(0，1)之間，那么我們觀看(0，1)這個區間的圖像，y值是隨著x值的增大而不斷增大的，y值也是從負數過渡到正數，而當y=0時所對應的x值就是方程的根�，F在我們要求的是方程的近似解，那么同學們想一想，答案是什么呢?
生：通過列表可以看出，在(0.6，0.7)范圍內，y值有-0.04至0.19，如果方程精確到十分位的正根，x應該是0.6。
類似的，我們得出方程精確到百分位的正根是0.62。
對于第三問，教師可以讓學生自己動手解答，教師在下面巡視，觀察其中發現的問題。
最后師生共同利用求根公式，驗證求出的近似解。
教師總結：我們發現，當二次函數 (a0)的圖像與x軸有交點時，根據圖像與x軸的交點，就可以確定一元二次方程 的根在哪兩個連續整數之間。為了得到更精確的近似解，對在這兩個連續整數之間的x的值進行細分，并求出相應得y值，列出表格，這樣就可以得到一元二次方程 所要求的精確度的近似解。
Ⅲ.練習
已知一個矩形的長比寬多3m，面積為6 。求這個矩形的長(精確到十分位)。
板書設計：
二次函數的應用(1)
一、導入 總結：
二、新課講授 三、練習
第二課時：
師：在我們的實際生活中你還遇到過哪些運用二次函數的實例?
生：老師，我見過好多。如周長固定時長方形的面積與它的長之間的關系：圓的面積與它的直徑之間的'關系等。
師：好，看這樣一個問題你能否解決：
活動1：如圖34-10，張伯伯準備利用現有的一面墻和40m長的籬笆，把墻外的空地圍成四個相連且面積相等的矩形養兔場。
回答下面的問題：
1.設每個小矩形一邊的長為xm，試用x表示小矩形的另一邊的長。
2.設四個小矩形的總面積為y ，請寫出用x表示y的函數表達式。
3.你能利用公式求出所得函數的圖像的頂點坐標，并說出y的最大值嗎?
4.你能畫出這個函數的圖像，并借助圖像說出y的最大值嗎?
學生思考，并小組討論。
解：已知周長為40m，一邊長為xm，看圖知，另一邊長為 m。
由面積公式得 y= (x )
化簡得 y=
代入頂點坐標公式，得頂點坐標x=4，y=5。y的最大值為5。
畫函數圖像：
通過圖像，我們知道y的最大值為5。
師：通過上面這個例題，我們能總結出幾種求y的最值得方法呢?
生：兩種;一種是畫函數圖像，觀察最高(低)點，可以得到函數的最值;另外一種可以利用頂點坐標公式，直接計算最值。
師：這位同學回答的很好，看來同學們是都理解了，也知道如何求函數的最值。
總結：由此可以看出，在利用二次函數的圖像和性質解決實際問題時，常常需要根據條件建立二次函數的表達式，在求最大(或最小)值時，可以采取如下的方法：
(1)畫出函數的圖像，觀察圖像的最高(或最低)點，就可以得到函數的最大(或最小)值。
(2)依照二次函數的性質，判斷該二次函數的開口方向，進而確定它有最大值還是最小值;再利用頂點坐標公式，直接計算出函數的最大(或最小)值。
師：現在利用我們前面所學的知識，解決實際問題。
活動2：如圖34-11，已知AB=2，C是AB上一點，四邊形ACDE和四邊形CBFG，都是正方形，設BC=x，
(1)AC=______;
(2)設正方形ACDE和四邊形CBFG的總面積為S，用x表示S的函數表達式為S=_____.
(3)總面積S有最大值還是最小值?這個最大值或最小值是多少?
(4)總面積S取最大值或最小值時，點C在AB的什么位置?
教師講解：二次函數 進行配方為y= ，當a0時，拋物線開口向上，此時當x= 時， ;當a0時，拋物線開口向下，此時當x= 時， 。對于本題來說，自變量x的最值范圍受實際條件的制約，應為02。此時y相應的就有最大值和最小值了。通過畫出圖像，可以清楚地看到y的最大值和最小值以及此時x的取值情況。在作圖像時一定要準確認真，同時還要考慮到x的取值范圍。
解答過程(板書)
解：(1)當BC=x時，AC=2-x(02)。
(2)S△CDE= ,S△BFG= ,
因此，S= + =2 -4x+4=2 +2，
畫出函數S= +2(02)的圖像，如圖34-4-3。
(3)由圖像可知：當x=1時， ;當x=0或x=2時， 。
(4)當x=1時，C點恰好在AB的中點上。
當x=0時，C點恰好在B處。
當x=2時，C點恰好在A處。
[教法]：在利用函數求極值問題，一定要考慮本題的實際意義，弄明白自變量的取值范圍。在畫圖像時，在自變量允許取得范圍內畫。
練習：
如圖，正方形ABCD的邊長為4，P是邊BC上一點，QPAP，并且交DC與點Q。
(1)Rt△ABP與Rt△PCQ相似嗎?為什么?
(2)當點P在什么位置時，Rt△ADQ的面積最小?最小面積是多少?
小結：利用二次函數的增減性，結合自變量的取值范圍，則可求某些實際問題中的極值，求極值時可把 配方為y= 的形式。
板書設計：
二次函數的應用(2)
活動1： 總結方法：
活動2： 練習：
小結：
第三課時：
我們這部分學習的是二次函數的應用，在解決實際問題時，常常需要把二次函數問題轉化為方程的問題。
師：在日常生活中，有哪些量之間的關系是二次函數關系?大家觀看下面的圖片。
(幻燈片顯示交通事故、緊急剎車)
師：你知道兩輛車在行駛時為什么要保持一定的距離嗎?
學生思考，討論。
師：汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車后還要向前滑行一段距離才能停住，這段距離叫做剎車距離。剎車距離是分析、處理道路交通事故的一個重要原因。
請看下面一個道路交通事故案例：
甲、乙兩車在限速為40km/h的濕滑彎道上相向而行，待望見對方。同時剎車時已經晚了，兩車還是相撞了。事后經現場勘查，測得甲車的剎車距離是12m，乙車的剎車距離超過10m，但小于12m。根據有關資料，在這樣的濕滑路面上，甲車的剎車距離S甲(m)與車速x(km/h)之間的關系為S甲=0.1x+0.01x2，乙車的剎車距離S乙(m)與車速x(km/h)之間的關系為S乙= 。
教師提問：1.你知道甲車剎車前的行駛速度嗎?甲車是否違章超速?
2.你知道乙車剎車前的行駛速度在什么范圍內嗎?乙車是否違章超速?
學生思考!教師引導。
對于二次函數S甲=0.1x+0.01x2：
(1)當S甲=12時，我們得到一元二次方程0.1x+0.01x2=12。請談談這個一元二次方程這個一元二次方程的實際意義。
(2)當S甲=11時，不經過計算，你能說明兩車相撞的主要責任者是誰嗎?
(3)由乙車的剎車距離比甲車的剎車距離短，就一定能說明事故責任者是甲車嗎?為什么?
生甲：我們能知道甲車剎車前的行駛速度，知道甲車的剎車距離，又知道剎車距離與車速的關系式，所以車速很容易求出，求得x=30km，小于限速40km/h，故甲車沒有違章超速。
生乙：同樣，知道乙車剎車前的行駛速度，知道乙車的剎車距離的取值范圍，又知道剎車距離與車速的關系式，求得x在40km/h與48km/h(不包含40km/h)之間�？梢娨臆囘`章超速了。
同學們，從這個事例當中我們可以體會到，如果二次函數y= (a0)的某一函數值y=M。就可利用一元二次方程 =M，確定它所對應得x值，這樣，就把二次函數與一元二次方程緊密地聯系起來了。
下面看下面的這道例題：
當路況良好時，在干燥的路面上，汽車的剎車距離s與車速v之間的關系如下表所示：
v/(km/h) 40 60 80 100 120
s/m 2 4.2 7.2 11 15.6
(1)在平面直角坐標系中描出每對(v，s)所對應的點，并用光滑的曲線順次連結各點。
(2)利用圖像驗證剎車距離s(m)與車速v(km/h)是否有如下關系：
(3)求當s=9m時的車速v。
學生思考，親自動手，提高學生自主學習的能力。
教師提問，學生回答正確答案，教師再進行講解。
課上練習：
某產品的成本是20元/件，在試銷階段，當產品的售價為x元/件時，日銷量為(200-x)件。
(1)寫出用售價x(元/件)表示每日的銷售利潤y(元)的表達式。
(2)當日銷量利潤是1500元時，產品的售價是多少?日銷量是多少件?
(3)當售價定為多少時，日銷量利潤最大?最大日銷量利潤是多少?
課堂小結：本節課主要是利用函數求極值的問題，解決此類問題時，一定要考慮到本題的實際意義，弄明白自變量的取值范圍。在畫圖像時，在自變量允許取的范圍內畫。
板書設計：
二次函數的應用(3)
一、案例 二、例題
分析： 練習：
總結：
數學網
《二次函數的應用》教案 2
一、教材分析：
《34.4二次函數的應用》選自義務教育課程標準試驗教科書《數學》(冀教版)九年級上冊第三十四章第四節，這節課是在學生學習了二次函數的概念、圖象及性質的基礎上，讓學生繼續探索二次函數與一元二次方程的關系，教材通過小球飛行這樣的實際情境，創設三個問題，這三個問題對應了一元二次方程有兩個不等實根、有兩個相等實根、沒有實根的三種情況。這樣，學生結合問題實際意義就能對二次函數與一元二次方程的關系有很好的體會;從而得出用二次函數的圖象求一元二次方程的方法。這也突出了課標的要求：注重知識與實際問題的聯系。
本節教學時間安排1課時
二、教學目標：
知識技能：
1.經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的聯系.
2.理解拋物線交x軸的點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的.實數和沒有實根.
3.能夠利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根。
數學思考：
1.經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，培養學生的探索能力和創新精神.
2.經歷用圖象法求一元二次方程的近似根的過程，獲得用圖象法求方程近似根的體驗.
3.通過觀察二次函數圖象與x軸的交點個數，討論一元二次方程的根的情況，進一步培養學生的數形結合思想。
解決問題：
1.經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體驗數學活動充滿著探索與創造，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性。
2.通過利用二次函數的圖象估計一元二次方程的根，進一步掌握二次函數圖象與x軸的交點坐標和一元二次方程的根的關系，提高估算能力。
情感態度：
1.從學生感興趣的問題入手，讓學生親自體會學習數學的價值，從而提高學生學習數學的好奇心和求知欲。
2.通過學生共同觀察和討論，培養大家的合作交流意識。
三、教學重點、難點：
教學重點：
1.體會方程與函數之間的聯系。
2.能夠利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根。
教學難點：
1.探索方程與函數之間關系的過程。
2.理解二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系。
四、教學方法：
啟發引導 合作交流
五、教具、學具：
課件
六、教學過程：
[活動1] 檢查預習 引出課題
預習作業：
1.解方程：(1)x2+x-2=0; (2) x2-6x+9=0; (3) x2-x+1=0; (4) x2-2x-2=0.
2. 回顧一次函數與一元一次方程的關系，利用函數的圖象求方程3x-4=0的解.
師生行為：教師展示預習作業的內容，指名回答，師生共同回顧舊知，教師做出適當總結和評價。
教師重點關注：學生回答問題結論準確性，能否把前后知識聯系起來，2題的格式要規范。
設計意圖：這兩道預習題目是對舊知識的回顧，為本課的教學起到鋪墊的作用,1題中的三個方程是課本中觀察欄目中的三個函數式的變式，這三個方程把二次方程的根的三種情況體現出來，讓學生回顧二次方程的相關知識;2題是一次函數與一元一次方程的關系的問題，這題的設計是讓學生用學過的熟悉的知識類比探究本課新知識。
[活動2] 創設情境 探究新知
問題
1. 課本P94 問題.
2. 結合圖形指出，為什么有兩個時間球的高度是15m或0m?為什么只在一個時間球的高度是20m?
3. 結合預習題1，完成課本P94 觀察中的題目。
師生行為：教師提出問題1，給學生獨立思考的時間,教師可適當引導,對學生的解題思路和格式進行梳理和規范;問題2學生獨立思考指名回答，注重數形結合思想的滲透;問題3是由學生分組探究的，這個問題的探究稍有難度，活動中教師要深入到各個小組中進行點撥，引導學生總結歸納出正確結論。
二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系?
教師重點關注：
1.學生能否把實際問題準確地轉化為數學問題;
2.學生在思考問題時能否注重數形結合思想的應用;
3.學生在探究問題的過程中，能否經歷獨立思考、認真傾聽、獲得信息、梳理歸納的過程，使解決問題的方法更準確。
設計意圖：由現實中的實際問題入手給學生創設熟悉的問題情境，促使學生能積極地參與到數學活動中去，體會二次函數與實際問題的關系;學生通過小組合作分析、交流，探求二次函數與一元二次方程的關系，培養學生的合作精神，積累學習經驗。
[活動3] 例題學習 鞏固提高
問題
例 利用函數圖象求方程x2-2x-2=0的實數根(精確到0.1)
師生行為：教師提出問題，引導學生根據預習題2獨立完成，師生互相訂正。
教師關注：
(1)學生在解題過程中格式是否規范;
(2)學生所畫圖象是否準確，估算方法是否得當。
設計意圖：通過預習題2的鋪墊，同學們已經從舊知識中尋找到新知識的生長點，很容易明確例題的解題思路和方法，這樣既降低難點且突出重點。
[活動4] 練習反饋 鞏固新知
《二次函數的應用》教案 3
目標設計
1.知識與技能：通過本節學習，鞏固二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質，理解頂點與最值的關系，會用頂點的性質求解最值問題。
能力訓練要求
1、能夠分析實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最大（小）值發展學生解決問題的能力， 學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題。
2、通過觀察圖象，理解頂點的特殊性，會把實際問題中的最值轉化為二次函數的最值問題，通過動手動腦，提高分析解決問題的能力，并體會一般與特殊的關系，培養數形結合思想，函數思想。
情感與價值觀要求
1、在進行探索的活動過程中發展學生的探究意識，逐步養成合作交流的習慣。
2、培養學生學以致用的習慣，體會體會數學在生活中廣泛的應用價值，激發學生學習數學的興趣、增強自信心。
方法設計
由于本節課是應用問題，重在通過學習總結解決問題的方法，故而本節課以“啟發探究式”為主線開展教學活動，解決問題以學生動手動腦探究為主，必要時加以小組合作討論，充分調動學生學習積極性和主動性，突出學生的主體地位，達到“不但使學生學會，而且使學生會學”的目的。為了提高課堂效率，展示學生的學習效果，適當地輔以電腦多媒體技術。
教學過程
導學提綱
設計思路：最值問題又是生活中利用二次函數知識解決最常見、最有實際應用價值的問題之一，它生活背景豐富 ，學生比較感興趣，對九年級學生來說，在學習了一次函數和二次函數圖象與性質以后，對函數的思想已有初步認識，對分析問題的方法已會初步模仿，能識別圖象的增減性和最值，但在變量超過兩個的實際問題中，還不能熟練地應用知識解決問題，而面積問題學生易于理解和接受 ，故而在這兒作此調整，為求解最大利潤等問題奠定基礎。從而進一步培養學生利用所學知識構建數學模型，解決實際問題的能力，這也符合新課標中知識與技能呈螺旋式上升的規律。目的在于讓學生通過掌握求面積最大這一類題，學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題，此部分內容既是學習一次函數及其應用后的鞏固與延伸，又為高中乃至以后學習更多函數打下堅實的理論和思想方法基礎。
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1.復習二次函數y＝ax2+bx＋c（a≠0）的圖象、頂點坐標、對稱軸和最值
2.（1）求函數y＝x2+ 2x－3的最值。
（2）求函數y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）
3、拋物線在什么位置取最值？
（二）適當點撥，自主探究
1、在創設情境中發現問題
請你畫一個周長為40厘米的矩形，算算它的面積是多少？再和同學比比，發現了什么？誰的面積最大？
2、在解決問題中找出方法
某工廠為了存放材料，需要圍一個周長40米的矩形場地，問矩形的長和寬各取多少米，才能使存放場地的面積最大？
�。▎栴}設計思路：把前面矩形的周長40厘米改為40米，變成一個實際問題， 目的在于讓學生體會其應用價值?我們要學有用的數學知識。學生在前面探究問題時，已經發現了面積不唯一，并急于找出最大的，而且要有理 論依據，這樣首先要建立函數模型，合作探究中在選取變量時學生可能會有困難，這時教師要引導學生關注哪兩個變量，就把其中的一個主要變量設為x，另一個設為y，其它變量用含x的代數式表示，找等量關系，建立函數模型，實際問題還要考慮定義域，畫圖象觀察最值點，這樣一步步突破難點，從而讓學生在不斷探究中悟出利用函數知識解決問題的一套思路和方法，而不是為了做題而做題，為以后的學習奠定思想方法基礎。）
3、在鞏固與應用中提高技能
例1：小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環境，小明的爸爸準備靠墻修建一個矩形花圃 ，他買回了32米長的不銹鋼管準備作為花圃的圍欄（如圖所示），花圃的寬AD究竟應為多少米才能使花圃的面積最大？
�。ㄔO計思路：例1的設計也是尋找了學生熟悉的家門口的生活背景，從知識的角度來看，求矩形面積也較容易，我在此設計了一個條件墻長10米來限制定義域，目的在于告訴學生一個道理，數學不能脫離生活實際，估計大部分學生在求解時還會在頂點處找最值，導致錯解，此時教師再提醒學生通過畫函數的圖象輔助觀察、理解最值的實際意義，體會頂點與端點的不同作用，加深對知識的理解，做到數與形的完美結合，通過此題的有意訓練，學生必然會對定義域的意義有更加深刻的理解，這樣既培養了學生思維的嚴密性，又為今后能靈活地運用知識解決問題奠定了堅實的基礎。）
解：設垂直于墻的邊AD=x米，則AB=（32-2x） 米，設矩形面積為y米2，得到：
Y=x（32-2x）= -2x2+32x
�。坼e解］由頂點公式得：
x=8米時，y最大=128米2
而實際上定義域為11≤x ?16，由圖象或增減性可知x=11米時， y最大=110米2
�。ㄔO計思路：例1的設計也是尋找了學生熟悉的家門口的生活背景，從知識的角度來看，求矩形面積也較容易，我在此設計了一個條件墻長10米來限制定義域，目的在于告訴學生一個道理，數學不能脫離生活實際，估計大部分學生在求解時還會在頂點處找最值，導致錯 解，此時教師再提醒學生通過畫函數的圖象輔助觀察、理解最值的實際意義，體會頂點與端點的不同作用，加深對知識的理解，做到數與 形的完美結合，通過此題的有意訓練，學生必然會對定義域的意義有更加深刻的理解，這樣既培養了學生思維的嚴密性，又為今后能靈活地運用知識解決問題奠定了堅實的基礎。）
�。ㄈ┛偨Y交流：
�。�1）同學們經歷剛才的探究過程，想想解決此類問題的思路是什么？
引導學生分析解題循環圖：
（2）在探究發現這些判定方法的過程中運用了什么樣的數學方法？
（四）掌握應用：
圖中窗戶邊框的 上半部分是由四個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形。如果制作一個窗戶邊框的'材料總長為15米，那么如何設計這個窗戶邊框的尺寸，使透光面積最大(結果精確到0.01m2)?（設計思路：先出示如圖圖形，然后引伸到課本中的圖形，讓學生有一個思考遞進的空間。）
�。ㄎ澹┪襾碓囈辉嚕�
如圖在Rt△ABC中，點P在斜邊AB上移動，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分別為垂足，已知AC=1，AB=2，求：
�。�1）何時矩形PMCN的面積最大，把最大面積是多少？
�。�2）當AM平分∠CAB時，矩形PMCN的面積.
�。┲橇﹃J關：
如圖，用長20cm的籬笆，一面靠墻圍成一個長方形的園子，怎樣圍才能使園子的面積最大？最 大面積是多少？
作業：課本隨堂練習 、習題1，2，3
板書設計
二次函數的應用??面積最大問題
課后反思
二次函數的應用本身是學習二次函數的圖象與性質后，檢驗學生應用所學知識解決實際問題能力的一個綜合考查。新課標中要求學生能通過對實際問題的情境的分析確定二次函數的表達式，體會其意義，能根據圖象的性質解決簡單的實際問題。 本節課充分運用導學提綱，教師提前通過一系列問題串的設置，引導學生課前預習，在課堂上通過對一系列問題串的解決與交流， 讓學生通過掌握 求面積最大這一類題，學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題。
教材中設計先探索最大利潤問題，對九年級學生來說，在學習了一次函數和二次函數圖象與性質以后，對函數的思想已有初步認識，對分析問題的方法已會初步模仿，能識別圖象的增減性和最值，但在變量超過兩個的實際問題中，還不能熟練地應用知識解決問題，而面積問題學生易于理解和接受，故而在這兒作此調整，為求解最大利潤等問題奠定基礎。從而進一步培養學生利用所學知識構建數學模型，解決實際問題的能力，這也符合新課標中知識與技能呈螺旋式上升的規律。所以在例題的處理中適當的降低了梯度，讓學生思維有一個拓展的空間，也有收獲快樂 和成就感。在訓練的過程中，通過學生的獨立思考與小組合作探究相結合，使學生的分析能力、表達能力及思維能力都得到訓練和提高。同時也注重對解題方法與解題 模式的歸納與總結，并適當地滲透轉化、化歸、數形結合等數學思想方法。
《二次函數的應用》教案 4
教學目標：
利用數形結合的數學思想分析問題解決問題。
利用已有二次函數的知識經驗，自主進行探究和合作學習，解決情境中的數學問題，初步形成數學建模能力，解決一些簡單的實際問題。
在探索中體驗數學來源于生活并運用于生活，感悟二次函數中數形結合的美，激發學生學習數學的興趣，通過合作學習獲得成功，樹立自信心。
教學重點和難點：
運用數形結合的思想方法進行解二次函數，這是重點也是難點。
教學過程：
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分組復習舊知。
探索：從二次函數y=x2+4x+3在直角坐標系中的圖象中，你能得到哪些信息？
可引導學生從幾個方面進行討論：
（1）如何畫圖
�。�2）頂點、圖象與坐標軸的交點
�。�3）所形成的三角形以及四邊形的面積
�。�4）對稱軸
從上面的問題導入今天的課題二次函數中的圖象與性質。
（二）新授：
1、再探索：二次函數y=x2+4x+3圖象上找一點，使形成的圖形面積與已知圖形面積有數量關系。例如：拋物線y=x2+4x+3的頂點為點A，且與x軸交于點B、C；在拋物線上求一點E使SBCE= SABC。
再探索：在拋物線y=x2+4x+3上找一點F，使BCE與BCD全等。
再探索：在拋物線y=x2+4x+3上找一點M，使BOM與ABC相似。
2、讓同學討論：從已知條件如何求二次函數的解析式。
例如：已知一拋物線的頂點坐標是C（2，1）且與x軸交于點A、點B，已知SABC=3，求拋物線的解析式。
（三）提高練習
根據我們學校人人皆知的船模特色項目設計了這樣一個情境：
讓班級中的上科院小院士來簡要介紹學校船模組的情況以及在繪制船模圖紙時也常用到拋物線的知識的情況，再出題：船身的龍骨是近似拋物線型，船身的最大長度為48cm，且高度為12cm。求此船龍骨的拋物線的解析式。
讓學生在練習中體會二次函數的圖象與性質在解題中的作用。
（四）讓學生討論小結（略）
�。ㄎ澹┳鳂I布置
1、在直角坐標平面內，點O為坐標原點，二次函數y=x2+（k—5）x—（k+4）的圖象交x軸于點A（x1，0）、B（x2，0）且（x1+1）（x2+1）=—8。
（1）求二次函數的'解析式；
�。�2）將上述二次函數圖象沿x軸向右平移2個單位，設平移后的圖象與y軸的交點為C，頂點為P，求 POC的面積。
2、如圖，一個二次函數的圖象與直線y= x—1的交點A、B分別在x、y軸上，點C在二次函數圖象上，且CBAB，CB=AB，求這個二次函數的解析式。
3、盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分，在大橋截面1：11000的比例圖上，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9cm，線段DE表示大橋拱內橋長，DE∥AB，如圖1，在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1cm作為數軸的單位長度，建立平面直角坐標系。
�。�1）求出圖2上以這一部分拋物線為圖象的函數解析式，寫出函數定義域；
�。�2）如果DE與AB的距離OM=0.45cm，求盧浦大橋拱內實際橋長（備用數據： ，計算結果精確到1米）
《二次函數的應用》教案 5
一、教材分析
1、教材的地位及作用
函數是一種重要的數學思想，是實際生活中數學建模的重要工具，二次函數的教學在初中數學教學中有著重要的地位。本節內容的教學，在函數的教學中有著承上啟下的作用。它既是對已學一次函數及反比例函數的復習，又是對二次函數知識的延續和深化，為將來二次函數一般情形的教學乃至高中階段函數的教學打下基礎，做好鋪墊。
2.教學目標
(1) 掌握二此函數的概念并能夠根據實際問題，熟練地列出二次函數關系式，并求出函數的自變量的取值范圍。注重學生參與，聯系實際，豐富學生的感性認識，培養學生的良好的學習習慣。[知識與技能目標]
(2)讓學生經歷觀察、比較、歸納、應用，以及猜想、驗證的學習過程，使學生掌握類比、轉化等學習數學的方法，養成既能自主探索，又能合作探究的良好學習習慣。[過程與方法目標]
(3) 讓學生在數學活動中學會與人相處，感受探索與創造，體驗成功的喜悅，[情感、態度、價值觀目標]
3、教學的重、難點
重點：二次函數的概念和解析式
難點：本節“合作學習”涉及的實際問題有的較為復雜，要求學生有較強的概括能力
4、 學情分析
①學生已掌握一次函數，反比例函數的概念,圖象的畫法，以及它們圖象的性質。 ②學生個性活潑，積極性高，初步具有對數學問題進行合作探究的意識與 能力。
�、鄢跞龑W生程度參差不齊，兩極分化已形成。
二、教法學法分析
1、教法(關鍵詞：情境、探究、分層)
基于本節課內容的特點和初三學生的年齡特征，我以“探究式”體驗教學法和“啟發式”教學法 為主進行教學。讓學生在開放的情境中，在教師的 引導啟發下，同學的合作幫助下，通過探究發現，讓學生經歷數學知識的形成和應用過程，加深對數學知識的理解。教師著眼于引導，學生著眼于探索，側重于學生能力的提高、思維的訓練。同時考慮到學生的個體差異，在教學的各個環節中進行分層施教。
2、學法(關鍵詞：類比、自主、合作)
根據學生的思維特點、認知水平，遵循“教必須以學為立足點”的教育理念，讓每一個學生自主參與整堂課的知識構建。在各個環節中引導學生類比遷移，對照學習。以自主探索為主，學會合作交流，在師生互動、生生互動中讓每個學生動口，動手，動腦，培養學生學習的主動性和積極性，使學生由“學會”變“會學”和“樂學”。
3、教學手段
采用多媒體教學，直觀呈現拋物線和諧、對稱的美，激發學生的學習 興趣，參與熱情，增大教學容量，提高教學效率。
三、教學過程
完整的數學學習過程是一個不斷探索、發現、驗證的過程，根據新課標要求，根據“以人為本，以學定教”的教學理念，結合學生實際，制訂以下教學流程：
(一).創設情境 溫故引新
以提問的形式復習一元二次方程的一般形式，一次函數，反比例函數的定義，然后讓學生欣賞一組優美的有關拋物線的圖案，創設情境：
(1)你們喜歡打籃球嗎?
(2)你們知道：投籃時，籃球運動的路線是什么曲線?怎樣計算籃球達到最高點時的高度?
從而引出課題〈〈二次函數〉〉，導入新課
(二).合作學習，探索新知
為了更貼近生活，我先設計了兩個和實際生活有關的練習題。鼓勵學生積極發言，充分調動學生的主動性。然后出示課本上的兩個問題，在這個環節中，我讓學生在教師的引導下，先獨立思考，再以小組為單位交流成果，以培養學生自主探索、合作探究的能力。四個解析式都列出來后。讓學生通過觀察與思考，這些解析式有什么共同特征，啟發學生用自己的語言總結，從而得出二次函數的概念，并且提高了學生的語言表達能力。
學生在學習二次函數的概念時要求學生既要知道表示二次函數的解析式中字母的意義,還要能根據給出的函數解析式判斷一個函數是不是二次函數
(三)當堂訓練 鞏固提高
由于學生層次不一，練習的設計充分考慮到學生的個體差異，滿足不同層次學生的學習需求，實現有“差異的”發展。讓每一個學生都感受成功的喜悅。我設計了3道練習題，其難易程度逐步提高，第一道題面對所有的學生，學生可以根據二次函數的概念直接判斷，但需要強調該化簡的必須化簡后才可以判斷。第二道題讓學生逆向思維，根據條件自己寫二次函數，從而加深了對二次函數概念的理解。最后一道題綜合性較強，可以提高他們的綜合素質。
(四).小結歸納 拓展轉化
讓學生用自己的語言談談自己的.收獲，可以將這一節的知識條理化，進一步掌握二次函數的概念。
(五)布置作業 學以致用
作業分必做題、選做題，體現分層思想，通過作業，內化知識，檢驗學生掌握知識的情況，發現和彌補教與學中遺漏與不足。同時，選做題具有總結性，可引導學生研究二次函數,一次函數,正比例函數的聯系.
四、評價分析
本節課的教學從學生已有的認知基礎出發，以學生自主探索、合作交流為主線，讓學生經歷數學知識的形成與應用過程，加深對所學知識的理解，從而突破重難點。整節課注重學生能力的培養和習慣的養成。由于學生的層次不一，我全程關注每一個學生的學習狀態，進行分層施教，因勢利導，隨機應變，適時調整教學環節，實現評價主體和形式的多樣化，把握評價的時機與尺度，激發學生的學習興趣，激活課堂氣氛，使課堂教學達到最佳狀態。
五、教學反思
1.本節課通過學生合作交流，自己列出不同問題中的解析式，并通過觀察他們的共同特征，成功得出了二次函數的概念。
2.本節課設計的以問題為主線，培養學生有條理思考問題的習慣和歸納概括能力，并重視培養學生的語言表達能力。同時不斷激發學生的探索精神，提高了學生分析和解決問題的能力。使學生有成功體驗。
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