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      實用文檔>競賽專題講座平面幾何證明

      競賽專題講座平面幾何證明

      時間:2024-10-03 01:19:56

      競賽專題講座平面幾何證明

      競賽專題講座平面幾何證明

      競賽專題講座平面幾何證明

        【競賽知識點撥】

        1. 線段或角相等的證明

       。1) 利用全等△或相似多邊形;

       。2) 利用等腰△;

       。3) 利用平行四邊形;

       。4) 利用等量代換;

        (5) 利用平行線的性質或利用比例關系

       。6) 利用圓中的等量關系等。

        2. 線段或角的和差倍分的證明

       。1) 轉化為相等問題。如要證明a=bc,可以先作出線段p=bc,再去證明a=p,即所謂截長補短,角的問題仿此進行。

        (2) 直接用已知的定理。例如:中位線定理,Rt△斜邊上的中線等于斜邊的一半;△的外角等于不相鄰的內角之和;圓周角等于同弧所對圓心角的一半等等。

        3. 兩線平行與垂直的證明

       。1) 利用兩線平行與垂直的判定定理。

       。2) 利用平行四邊形的性質可證明平行;利用等腰△的三線合一可證明垂直。

        (3) 利用比例關系可證明平行;利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。

        【競賽例題剖析】

        【例1】從⊙O外一點P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點作弦AE平行于CD,連結BE交CD于F。求證:BE平分CD。

        【分析1】構造兩個全等△。

        連結ED、AC、AF。

        CF=DF△ACF≌△EDF

        PAB=AEB=PFB

        【分析2】利用圓中的等量關系。連結OF、OP、OB。

        PFB=POB

        注:連結OP、OA、OF,證明A、O、F、P四點共圓亦可。

        【例2】△ABC內接于⊙O,P是弧 AB上的一點,過P作OA、OB的垂線,與AC、BC分別交于S、T,AB交于M、N。求證:PM=MS充要條件是PN=NT。

        【分析】只需證, PMPN=MSNT。

        (2,4)△APM∽△PBN

        PMPN=AMBN

        (BNT=AMS,BTN=MAS)△BNT∽△SMA

        MSNT=AMBN

        【例3】已知A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個交點,兩外公切線P1P2、Q1Q2分別切兩圓于P1、P2、Q1、Q2,M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點。求證:O1AO2=M1AM2。

        【分析】設B為兩圓的另一交點,連結并延長BA交P1P2于C,交O1O2于M,則C為P1P2的中點,且P1M1∥CM∥P2M2,故CM為M1M2的中垂線。

        在O1M上截取MO3=MO2,則M1AO3=M2AO2。

        故只需證O1AM1=O3AM1,即證。

        由△P1O1M1∽P2O2M2,M1O3=M2O2,O1P1=O1A,O2P2=O2A可得。

        【例4】在△ABC中,ABAC,A的外角平分線交△ABC的外接圓于D,DEAB于E,求證:AE=。

        【分析】方法1、2AE=AB-AC

        在BE上截取EF=AE,只需證BF=AC,連結DC、DB、DF,從而只需證△DBF≌△DCA

        DF=DA,DBF=DCA,DFB=DAC

        DFA=DAF=DAG。

        方法2、延長CA至G,使AG=AE,則只需證BE=CG

        連結DG、DC、DB,則只需證△DBE≌△DCG

        DE=DG,DBE=DCG,DEB=DGC=Rt。

        【例5】ABC的頂點B在⊙O外,BA、BC均與⊙O相交,過BA與圓的交點K引ABC平分線的垂線,交⊙O于P,交BC于M。

        求證:線段PM為圓心到ABC平分線距離的2倍。

        【分析】若角平分線過O,則P、M重合,PM=0,結論顯然成立。

        若角平分線不過O,則延長DO至D,使OD=OD,則只需證DD=PM。連結DP、DM,則只需證DMPD為平行四邊形。

        過O作mPK,則DD,KP,DPK=DKP

        BL平分ABC,MKBLBL為MK的中垂線DKB=DMK

        DPK=DMK,DP∥DM。而D D∥PM,

        DMPD為平行四邊形。

        【例6】在△ABC中,AP為A的平分線,AM為BC邊上的中線,過B作BHAP于H,AM的延長線交BH于Q,求證:PQ∥AB。

        【分析】方法1、結合中線和角平分線的性質,考慮用比例證明平行。

        倍長中線:延長AM至M,使AM=MA,連結BA,如圖6-1。

        PQ∥AB

        ABQ=180HBA+BAH+CAP)= 180-90CAP=90BAP=ABQ

        方法2、結合角平分線和BHAH聯(lián)想對稱知識。

        延長BH交AC的延長線于B,如圖6-2。則H為BB的中點,因為M為BC的中點,連結HM,則HM∥B/C。延長HM交AB于O,則O為AB的中點。延長MO至M,使OM=OM,連結MA、MB,則AMBM是平行四邊形,

        MP∥AM,QM∥BM。于是,,所以PQ∥AB。

        【例7】菱形ABCD的內切圓O與各邊分別切于E、F、G、H,在EF與GH上分別作⊙O的切線交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q。

        求證:MQ∥NP。(95年全國聯(lián)賽二試3)

        【分析】由AB∥CD知:要證MQ∥NP,只需證AMQ=CPN,

        結合C知,只需證△AMQ∽△CPN,AMCN=AQCP。

        連結AC、BD,其交點為內切圓心O。設MN與⊙O切于K,連結OE、OM、OK、ON、OF。記ABO=,MOK=,KON=,則

        EOM=,F(xiàn)ON=,EOF=2+2=180。

        BON=90NOF-COF=90-=

        CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM

        又OCN=MAO,△OCN∽△MAO,于是,

        AMCN=AOCO

        同理,AQCP=AOCO。

        【例8】ABCD是圓內接四邊形,其對角線交于P,M、N分別是AD、BC的中點,過M、N分別作BD、AC的垂線交于K。求證:KPAB。

        【分析】延長KP交AB于L,則只需證PAL+APL=90,

        即只需證PDC+KPC=90,只需證PDC=PKF,

        因為P、F、K、E四點共圓,故只需證PDC=PEF,即EF∥DC。

        △DME∽△CNF

        【例9】以△ABC的邊BC為直徑作半圓,與AB、AC分別交于點D、E。過D、E作BC的垂線,垂足分別是F、G,線段DG、EF交于點M。求證:AMBC。

        【分析】連結BE、CD交于H,則H為垂心,故AHBC。(同一法)

        設AHBC于O,DG、AH交于M1,EF、AH交于M2。下面證M1、M2重合。

        OM1∥DFOM1=。

        OM2∥EGOM2=。

        只需證OGDF=EGOF,即Rt△OEG∽Rt△ODFDOF=DHB=EHC=EOG。

        [標簽:推理與證明,幾何,幾何問題,講座]

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