高二數(shù)學(xué)推理與證明
高二數(shù)學(xué)推理與證明
一. 教學(xué)內(nèi)容：
推理與證明
二. 本周教學(xué)目標(biāo)：
1. 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活實(shí)例，了解合情推理，能利用歸納和類比等方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的作用。
2. 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活實(shí)例，了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理。
3. 了解直接證明的兩種基本方法分析法與綜合法；了解間接證明的一種基本方法反證法。
三. 本周知識(shí)要點(diǎn)：
（一）合情推理與演繹推理
1. 歸納推理與類比推理
（1）已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ，記 ，試通過計(jì)算 的值，推測(cè)出 的值。
（2）若數(shù)列 為等差數(shù)列，且 ，則 。現(xiàn)已知數(shù)列 為等比數(shù)列，且 ，類比以上結(jié)論，可得到什么結(jié)論？你能說明結(jié)論的正確性嗎？
【學(xué)生討論：】（學(xué)生討論結(jié)果預(yù)測(cè)如下）
（1）
由此猜想，
（2）結(jié)論：
證明：設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，則 ，所以
所以
如（1）是從個(gè)別事實(shí)中推演出一般結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。
如（2）是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤襁@樣的推理通常稱為類比推理。
說明：
（1）歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。
（2）歸納推理的一般步驟：
①通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)。
②從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）。
（3）類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性
質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。
（4）類比推理的一般步驟：
①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。
②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）。
2. 演繹推理
現(xiàn)在冰雪覆蓋的南極大陸，地質(zhì)學(xué)家說它們?cè)诔嗟栏浇菑臒釒эh移到現(xiàn)在的位置的，為什么呢？原來(lái)在它們的地底下，有著豐富的煤礦，煤礦中的樹葉表明它們是闊葉樹。從繁茂的闊葉樹可以推知當(dāng)時(shí)有溫暖濕潤(rùn)的氣候。所以南極大陸曾經(jīng)在溫濕的熱帶。
被人們稱為世界屋脊的西藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立。西藏高原南端的喜馬拉雅山橫空出世，雄視世界。珠穆朗瑪峰是世界第一高峰，登上珠峰頂，一覽群山小。誰(shuí)能想到，喜馬拉雅山所在的地方，曾經(jīng)是一片汪洋，高聳的山峰的前身，竟然是深不可測(cè)的大海。地質(zhì)學(xué)家是怎么得出這個(gè)結(jié)論的呢？
科學(xué)家們?cè)谙柴R拉雅山區(qū)考察時(shí)，曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)高山的地層中有許多魚類、貝類的化石。還發(fā)現(xiàn)了魚龍的化石。地質(zhì)學(xué)家們推斷說，魚類貝類生活在海洋里，在喜馬拉雅山上發(fā)現(xiàn)它們的化石，說明喜馬拉雅山曾經(jīng)是海洋。科學(xué)家們研究喜馬拉雅變遷所使用的方法，就是一種名叫演繹推理的方法。
1. 演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理方法。
2. 演繹推理的一般模式
分析喜馬拉雅山所在的地方，曾經(jīng)是一片汪洋的推理過程：
魚類、貝類、魚龍，都是海洋生物，它們世世代代生活在海洋里……大前提
在喜馬拉雅山上發(fā)現(xiàn)它們的化石……小前提
喜馬拉雅山曾經(jīng)是海洋……結(jié)論
M－P（M是P）
常用格式：
S－M（S是M）
S－P（S是P）
三段論：（1）大前提……已知的一般原理
（2）小前提……所研究的特殊情況
（3）結(jié)論……根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷
用集合論的觀點(diǎn)分析：若集合M中的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的一個(gè)子集，那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P。
練習(xí)：分析下面幾個(gè)推理是否正確，說明為什么？
（1）因?yàn)橹笖?shù)函數(shù) 是增函數(shù)，
（2）因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)
而 是指數(shù)函數(shù) 而是無(wú)限小數(shù)
所以 是增函數(shù) 所以是無(wú)理數(shù)
（3）因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)，而 （=0.333……）是無(wú)限小數(shù)，所以 是無(wú)理數(shù)
說明：在應(yīng)用“三段論”進(jìn)行推理的過程中，大前提、小前提或推理形式之一錯(cuò)誤，都可能導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤。
比較：合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系
從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)體到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理。
從推理所得的結(jié)論來(lái)看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待于進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確。
人們?cè)谡J(rèn)識(shí)世界的過程中，需要通過觀察、實(shí)驗(yàn)等獲取經(jīng)驗(yàn)；也需要辨別它們的真?zhèn)危驅(qū)⒎e累的知識(shí)加工、整理，使之條理化，系統(tǒng)化，合情推理和演繹推理分別在這兩個(gè)環(huán)節(jié)中扮演著重要的角色。
就數(shù)學(xué)而言，演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程，但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理。因此，我們不僅要學(xué)會(huì)證明，也要學(xué)會(huì)猜想。
（二）直接證明與間接證明
1. 綜合法與分析法
（1）綜合法
一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理證明，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法又叫順推證法。
它的基本思路是“由因?qū)Ч保磸摹耙阎钡谩翱芍保僦鸩酵葡蛭粗姆椒ā?/p>
（2）分析法
我們從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件，這種證明方法叫分析法，它的特點(diǎn)是：從未知看需知，再逐步靠近已知。
2. 間接證明
反證法
一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。
（三）數(shù)學(xué)歸納法
用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：
（1）證明：當(dāng)n取第一個(gè)值 時(shí)結(jié)論正確；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k ，且k ）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。
由（1），（2）可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。
數(shù)學(xué)歸納法被用來(lái)證明與自然數(shù)有關(guān)的命題： 遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。
【典型例題】
例1. 如圖所示，在銳角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D，E為垂足，求證：AB的中點(diǎn)M到D，E的距離相等。
證明：（1）因?yàn)橛幸粋�(gè)內(nèi)角為直角的三角形是直角三角形，…………大前提
在△ABD中，ADBC，ADB＝90，………………………小前提
所以△ABD是直角三角形。 ……………………………………結(jié)論
同理，△AEB也是直角三角形
（2）因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯�等于斜邊的一半，…………………大前提
而M是Rt△ABD斜邊AB的中點(diǎn)，DM是斜邊上的中線，………小前提
所以DM＝ ，……………………………………………………結(jié)論
同理，EM＝ 。 所以DM＝EM
例2. 已知 ，求證： 。
證法一（綜合法）：
證法二（分析法）： ，為了證明 ，
只需證明 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 .
成立，
成立
例3：證明： 不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)。
證明：假設(shè) 、 、 為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)，則存在整數(shù)m，n滿足
= +md ① = +nd ②
① n－② m得： n－ m= （n－m）
兩邊平方得： 3n2+5m2－2 mn=2（n－m）2
左邊為無(wú)理數(shù)，右邊為有理數(shù)，且有理數(shù) 無(wú)理數(shù)
所以，假設(shè)不正確。即 、 、 不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)
例4. 通過計(jì)算可得下列等式：
……
將以上各式分別相加得：
即：
類比上述求法：請(qǐng)你求出 的值。
解：
……
將以上各式分別相加得：
所以：
例5.自然狀態(tài)下魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響，用 表示某魚群在第 年年初的總量， ，且 ＞0。不考慮其它因素，設(shè)在第 年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與 成正比，死亡量與 成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù) 。
（Ⅰ）求 與 的關(guān)系式；
（Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng) ， 滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）
解：（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為
（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n ，從而由（*）式得
因?yàn)閤10，所以ab。
猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)ab，且 時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變。
【模擬試題】
1. 如果數(shù)列 是等差數(shù)列，則
A. B.
C. D.
2. 下面使用類比推理正確的是
A. “若 ，則 ”類推出“若 ，則 ”
B. “若 ”類推出“ ”
C. “若 ” 類推出“ （c0）”
D. “ ” 類推出“ ”
3. 有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)?/p>
A. 大前提錯(cuò)誤 B. 小前提錯(cuò)誤 C. 推理形式錯(cuò)誤 D. 非以上錯(cuò)誤
4. 設(shè) ， ，nN，則
A. B. － C. D. －
5. 在十進(jìn)制中 ，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成十進(jìn)制為
A. 29 B. 254 C. 602 D. 2004
6. 函數(shù) 的圖像與直線 相切，則 =
A. B. C. D. 1
7. 下面的四個(gè)不等式：① ；② ；③ ；④ 。其中不成立的有
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
8. 類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長(zhǎng)之間滿足關(guān)系： 。若三棱錐A－BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為 。
9. 從 中，可得到一般規(guī)律為 （用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）
10. 函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)，則f（1），f（2.5），f（3.5）的大小關(guān)系是 。
11. 在△ABC中， ，判斷△ABC的形狀
12. △ABC三邊長(zhǎng) 的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證： 。
13. 在各項(xiàng)為正的數(shù)列 中，數(shù)列的前n項(xiàng)和 滿足
（1） 求 ；（2） 由（1）猜想數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（3） 求
【試題答案】
1. B 2. C 3. C 4. D 5. B 6. B 7. A
8. .
9.
10. f（2.5）f（1）f（3.5）
11. ABC是直角三角形； 因?yàn)閟inA=
據(jù)正、余弦定理得 ：（b+c）（a2－b2－c2）=0；
又因?yàn)閍，b，c為 ABC的三邊，所以 b+c 0
所以 a2=b2+c2
即 ABC為直角三角形。
12. 證明： =
為△ABC三邊，
，
13. （1） ；
（2） ；
（3） 。
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