高二《橢圓及其標準方程》教學設計
高二《橢圓及其標準方程》教學設計
一、教學內容解析
1．地位與作用：
本章是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》，是高中數學解析幾何的第二大部分。解析幾何是數學中一個重要的分支，它聯系了數學中的數與形、代數與幾何等最基本對象之間的聯系。在北師大版必修2中，學生已掌握了在平面直角坐標系下研究直線和圓的方法，本章教材進一步利用三種基本圓錐曲線深化代數與幾何的關系。本章教材內容的順序是：橢圓→拋物線→雙曲線→曲線與方程。這樣安排的用意是，先學圓錐曲線，再學曲線與方程，這樣的順序更有利于學生的學習，符合學生從特殊到一般，具體到抽象的認知規律。在圓錐曲線的學習過程中，不斷的滲透曲線與方程的思想，為學生理解并掌握“曲線與方程”這一概念奠定了基礎。
本節是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》第1節的內容，主要學習橢圓的定義、標準方程及其簡單的應用，分為兩課時，本節課是第1課時，主要學習橢圓的定義及其標準方程。教材以橢圓為基礎和重點說明了求方程并利用方程討論幾何性質的一般方法，然后在認知拋物線和雙曲線中得到了鞏固和應用，因此《橢圓及其標準方程》這一節課起到了承上啟下的作用。
2．教材處理順序
教材在橢圓的定義這個內容的安排上是：先從直觀上認識橢圓，再從畫法中提煉出橢圓的幾何特征，由此抽象概括出橢圓的定義，最后是橢圓定義的簡單應用。這樣的安排不僅體現出《課程標準》中要求通過豐富的實例展開教學的理念，而且符合學生從具體到抽象的認知規律，有利于學生對概念的學習和理解。教材在本節內容中只研究了中心在原點，焦點在 軸上的橢圓的標準方程，讓學生自己去歸納焦點在 軸上的橢圓的標準方程。這樣的處理給學生提供了一次探究和交流的機會。有利于學生對拋物線標準方程的理解，有利于學生思維能力的提高和學習興趣的培養。
3．數學思想方法
本節內容蘊含了：數形結合思想、轉化化歸思想等。在推導橢圓標準方程過程中讓學生體會移項再平方去根號的方法。
二、教學目標和重難點
1．教學目標
（1） 知識與技能目標：①理解橢圓的定義；②掌握的橢圓的標準方程。
（2） 過程與方法目標：①在橢圓定義的獲知和歸納中，進一步滲透數形結合的數學思想方法；②通過橢圓標準方程的推導過程，鞏固用坐標化的方法求動點的軌跡方程，同時體會含有兩個根式的化簡思路。
（3） 情感、態度和價值觀：①通過橢圓定義的歸納，培養學生發現規律，認識規律并利用規律解決實際問題的能力；②通過師生、生生合作學習，增強學生團隊協作能力，增強主動與他人合作交流的意識。
2．教學重點
（1） 掌握橢圓的定義與相關概念；
（2） 掌握橢圓的標準方程。
3．教學難點
橢圓標準方程的推導。
三、學情分析
1．學生已有的認知基礎
授課班級學生為高二年級學生。
橢圓是圓錐曲線中基礎且重要的一種圖形，在實際生活中經常遇到。學生在高一對解析幾何有了初步的了解和認識，對于在平面直角坐標系下的點坐標及長度公式已掌握，具有一定的空間想象能力、抽象概括能力和推理運算的技能，有較好的學習習慣和方法。
2．學生存在的難點
學生在涉及到需要自己建立坐標系，再研究推導出方程仍是一個難點。且之前未接觸過一個式子中含兩個根式相加的情況，故化簡是個問題。
3．突破策略
由教師引領學生觀察所繪出的橢圓的特點，定點位置，從而建立合適的直角坐標系。
四、教學策略分析
1．內容突破策略
本節課新知內容分兩大板塊：一是總結概括出橢圓的定義；二是推導出橢圓的標準方程。針對第一板塊內容，主要采取學生先動手畫橢圓，在實踐的過程中發現一些固定不變的量和量與量之間存在的關系，從而總結出橢圓的定義，并且深刻領悟定義中所說的一些特別要求。針對第二板塊內容，主要是采取教師引導，學生動手，通過一般的求動點軌跡的方法推導出橢圓的標準方程，符合學生的認知規律。
2．啟迪學生思維策略：
在教學方法的選擇上，采用教師組織引導，學生動手實踐、自主探究、合作交流的學習方式，力求體現教師的引導者、合作者的作用，突出學生的主體地位。
五、教學過程
教學過程
設計意圖
一、創設情景，導入新課
1．讓學生觀察幾張典型圖片和行星在太陽系中的運動軌跡，由此看出一個共同的數學圖形“橢圓”。
2．大家還能舉出生活中你所遇到的橢圓嗎？
3．用多媒體演示一個嫦娥三號運行橢圓形軌道的例子。
1．使學生對橢圓有一個感性認識，明白生活實踐中有許多數學問題，數學于實踐，同時培養學生學會用數學的眼光去觀察周圍事物的能力。
2．通過提問激發學生課堂上的學習興趣。
二、橢圓的定義（分四個環節）
1．畫一畫（畫橢圓）
①將一條繩子的兩端固定在同一個定點上，用筆尖勾起繩子的中點使繩子繃緊，圍繞定點旋轉，筆尖形成的軌跡是什么？
（由學生動手在黑板上進行演示，提高學生的動手能力，同時激起學生學習本節課的興趣）
②而將繩子的兩端分別固定在兩個定點上，筆尖勾直繩子，移動筆尖，得到的是軌跡是什么？
（教師提問，讓學生動手，拿出提前準備好的毛線，兩組同學上黑板畫，其他同學同桌合作在練習本上畫）
動畫演示作圖過程
2．認一認（實驗總結）
提出問題：①作圖過程中，哪些量沒有變？哪些量變了？
提出問題：②為什么要求作圖過程中筆尖要繃緊？
提出問題：③筆尖所對應的動點M到定點的距離有什么長度之間的關系？
總結：筆尖對應的動點M到直線兩個端點的長度之和固定不變。
3．說一說（總結定義）
提出問題：根據剛才動手實踐的過程，能否總結橢圓的定義？（同學自由發言，再由學生進一步補充完善）
我們把平面內到兩個定點 ， 的距離之和等于常數（大于 ）的點的集合叫作橢圓。
問題1：定義中的常數等于 ，則動點的軌跡是什么？
問題2：定義中的常數小于 ，則動點的軌跡是什么？
4．橢圓相關概念：兩個定點 ， 叫作橢圓的焦點，兩個焦點 ， 間的距離叫作橢圓的焦距。
1．給學生提供一個動手、動腦的學習機會；
2．學生可通過動手實踐的過程去體會“滿足什么樣的條件下的點的集合為橢圓”，從而對橢圓定義中的條件有直觀深刻的認識。
3．通過三個問題的設置，為學生從畫法中發現拋物線的幾何特征奠定基礎。
4．通過三個典型的問題，讓學生更深刻地理解橢圓的定義
5．使學生經歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質的認識，并逐漸養成嚴謹的科學作風。
三、橢圓的標準方程
1．求一求（推導橢圓的標準方程）
問題3：回顧圓的軌跡方程是如何求的？
①建系： ②設點：
③列式： 得： ④化簡：
問題4：以怎樣的建系方式，哪一種針對求橢圓的標準方程比較好？
（補充說明：橢圓具有一定的對稱美，故所求的式子最好簡潔工整）
動手演算：讓學生動手，求推導焦點在 軸上的橢圓的標準方程
①建系：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔？（利用橢圓的對稱性特征）
以直線 為 軸，以線段 的垂直平分線為 軸，建
立平面直角坐標系．
②設點：設焦距為 ，則 ．設 為橢圓上任意一點，點 與點 的距離之和為 ．
③列式：動點 滿足的幾何約束條件:
坐標化為：
④化簡：化簡橢圓方程是本節課的難點，突破難點的方法是引導學生思考如何去根號
預案一：移項后兩次平方法
兩邊同時平方、整理得：
將上式兩邊平方、整理得：
分析 的幾何含義，令
得到焦點在 軸上的橢圓的標準方程為
預案二：
用等差數列法：
設
得4cx=4at，即t=
將t= 代入 式得
③
將③式兩邊平方得出結論。以下同預案一
預案三：三角換元法：
設
得
即 即
代入 式得
以下同預案一
2．問一問
問題5 ：焦點在 軸上的橢圓的標準方程是什么？
（由學生動手列式， ，引導學生觀察焦點在 軸上與焦點在 軸上式子的差異，從而用類比的方法得到焦點在 軸上橢圓的標準方程）
如果橢圓的焦點在 軸上，其焦點坐標為 ， ，用同樣的方法可以推出它的標準方程
問題6：如何用幾何圖形解釋 ？ ， ， 在橢圓中分別表示哪些線段的長？
1．讓學生由圓的標準方程的推導過程，類比的推導橢圓的標準方程。
2．橢圓方程不止一種，建立的坐標系不同，橢圓方程的表達形式也不同，在高中階段只掌握焦點在坐標軸上的橢圓的標準方程。
3．進一步熟悉用坐標法求動點軌跡方程的方法，掌握化簡含根號等式的方法，提高運算能力，養成不怕困難的鉆研精神，感受數學的簡潔美、對稱美
4．數形結合的思想的靈活應用，進一步深化鞏固數學思想方法
做好準備，以備個別學生想到此種方法
四、課堂探究
探究一：判斷分別滿足下列條件的動點 的軌跡是否為橢圓
（1）到點 和點 的距離之和為6的點的軌跡；（是）
（2）到點 和點 的距離之和為4的點的軌跡； （不是）
（3）到點 和點 的距離之和為3的點的軌跡； （不是）
(4).已知橢圓的標準方程為 ，請填空：a=_____,b=_____,c=_____,焦點坐標為_________________,焦距等于_________.
探究二：判定下列橢圓的標準方程在哪個軸上，并寫出焦點的坐標
（1） ；（在 軸上，焦點為 ， ）
（2） ；（在 軸上，焦點為 ， ）
（3） 。（在 軸上，焦點為 ， ）
1．鞏固橢圓的定義
2．通過本題的練習，使學生能加深橢圓的焦距與標準方程之間關系的理解，同時會求標準方程的基本量，教學時應引導學生逐層深入，養成求橢圓標準方程先看焦點位置的良好習慣。
五、課堂小結
問題：這節課你學到了什么？請談談你的收獲.
1．知識內容收獲：一個定義（橢圓的定義）；兩個方程（橢圓的兩種標準方程）；及橢圓中 之間的關系。
2．學習過程收獲：①鞏固了動點的軌跡方程的求法；②通過推導橢圓的標準方程的過程，學會了兩個根式相加的式子的化簡方法，同時提高了自己的運算能力。
3．數學思想和方法：數形結合思想；轉化化歸思想；分類討論思想。
目的：培養學生的概括總結能力
六、課后鞏固練習
1．課后思考：當把橢圓的兩個焦點合二為一了后，得到的圖形是什么？你能總結出什么樣的規律？
2．書面作業：
課本 練習2: 1, 2, 3
是對本節課新知內容及學習方法的鞏固，同時啟發學生思考，讓學生更有興趣繼續研究橢圓
七、板書設計
橢圓及其標準方程
一、畫橢圓
二、定義：
注明：①若 ，則點的軌跡不存在；
②若 ，則軌跡為線段
三、橢圓的標準方程
焦點在 軸上時，
焦點在 軸上時，
八、設計感想
上本節課前本人閱讀了大量圓錐曲線的知識，對各種不同的橢圓定義引題進行了分析比較，通過各位同事耐心的指導和多次的討論，最終采用了以現實生活中橢圓的應用引入，充分展現了知識的形成過程，有利于學生自主探究與創新意識的培養。但在設計過程仍遇到很多我無法解決的問題，比如如何將圓錐曲線背景知識融入到課堂；如何用幾何畫板將紙張的翻折更形象的演示等等。如何加以改進，這是在后續教學中需要思考的問題。這也反映了我在新課程面前的不足，認識到教師自身專業發展與能力提高的重要性與緊迫感；認識到新課程下的教師不再是靜態的蠟燭、明燈抑或是航標，而是一名充滿激情的主持人，一名銳意進取的先行者這樣一個角色的轉換；認識到新課改的成功要從我做起，從現在做起！
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