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線段的垂直平分線的性質(zhì)教案
13．1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì)第1課時 線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定
1
1．掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．(重點)
2．探索并總結出線段垂直平分線的性質(zhì)，能運用其性質(zhì)解答簡單的問題．(難點)
一、情境導入
如圖所示，有一塊三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分線ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周長為17m，你能幫測量人員計算BC的長嗎？
二、合作探究
探究點一：線段垂直平分線的性質(zhì)
【類型一】 應用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段的長
如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為( )
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
解析：∵△DBC的周長＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故選C.
方法總結：利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以實現(xiàn)線段之間的相互轉化，從而求出未知線段的長．
【類型二】 線段垂直平分線的性質(zhì)與全等三角形的綜合運用
如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.
求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB＝BF即可．
證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，利用它可以證明線段相等．
【類型三】 線段垂直平分線與角平分線的綜合運用
如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點O.
(1)找出圖中相等的線段；
(2)OE，OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．
解析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；
(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE＝OF.
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；
(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.
方法總結：本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關鍵．
探究點二：線段垂直平分線的判定
如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，試說明AD與EF的關系．
解析：先利用角平分線的性質(zhì)得出DE＝DF，再證△AED≌△AFD，易證AD垂直平分EF.
解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，DE＝DF.在△ADE和△ADF中，∵∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.
方法總結：當一條直線上有兩點都在同一線段的垂直平分線上時，這條直線就是該線段的垂直平分線，解題時常需利用此性質(zhì)進行線段相等關系的轉化．三、板書設計
線段的垂直平分線
1．線段的垂直平分線的作法．
2．線段的垂直平分線性質(zhì)定理和逆定理．
3．三角形三邊的垂直平分線交于一點．
本節(jié)課由于采用了直觀操作以及討論交流等教學方法，從而有效地增強了學生的感性認識，提高了學生對新知識的理解與感悟，因此本節(jié)課的教學效果較好，學生對所學的新知識掌握較好，達到了教學的目的．不足之處是少數(shù)學生對線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理理解不透徹，還需在今后的教學和作業(yè)中進一步進行鞏固和提高．
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