商的變化規(guī)律數(shù)學(xué)教學(xué)反思
運算定律和有關(guān)的規(guī)律、性質(zhì)，是數(shù)與代數(shù)知識領(lǐng)域中重要的一部分，這些客觀存在的一般規(guī)律對增強學(xué)生對數(shù)學(xué)的認識，迅速準確解決有關(guān)計算問題起著巨大的作用。不僅僅如此，正確的理解和掌握這些規(guī)律，還有助于學(xué)生形成解決問題的策略，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對學(xué)生的終生發(fā)展起重要作用。《新課程標準》明確提出了“知識技能、過程方法、情感態(tài)度與價值觀”三維度目標，就規(guī)律教學(xué)而言，知識技能目標就是讓學(xué)生理解和掌握規(guī)律，并能運用規(guī)律解決一些實際問題；過程方法目標是讓學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律的探索過程；情感態(tài)度價值觀目標是指學(xué)生在學(xué)生過程中，對數(shù)學(xué)學(xué)習的興趣、獲得知識的愉悅以及由此而產(chǎn)生的良好情感體驗。由于這些規(guī)律性知識是客觀存在的，具有普遍性。因此，讓學(xué)生機械記憶，再經(jīng)過強化訓(xùn)練，學(xué)生同樣可以掌握。而這樣的話，數(shù)學(xué)的枯燥、乏味體現(xiàn)得淋漓盡致，學(xué)生除了掌握這些味同嚼醋的知識外，別無所獲。而如果讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，學(xué)會科學(xué)的探究方法，學(xué)生同樣能達到知識技能目標，同時產(chǎn)生愉悅的情感體驗。顯然，這種知識的獲得是學(xué)生通過科學(xué)的方法自主探索出來的，既印象深刻，又生動活潑。這才是符合新課改理念的規(guī)律教學(xué)。因此，我個人認為：規(guī)律教學(xué)的重點應(yīng)該放在過程方法上，要讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)一般現(xiàn)象，進而總結(jié)概括出一般規(guī)律的過程。在這一過程中，教師要教給學(xué)生科學(xué)的探究方法，并力求形成一種數(shù)學(xué)模型，能運用這種數(shù)學(xué)模型，自主探索，掌握知識，獲得體驗。
《商的變化規(guī)律》是學(xué)生在掌握了兩位數(shù)除多位數(shù)的基礎(chǔ)上，進一步學(xué)習除法中被除數(shù)、除數(shù)變化引起商變化的規(guī)律。這對加強學(xué)生對除法的理解，形成解決問題的策略至關(guān)重要。教材先讓學(xué)生通過計算發(fā)現(xiàn)被除數(shù)擴大或縮小、除數(shù)不變以及被除數(shù)不變，除數(shù)擴大或縮小引起商變化的規(guī)律，然后提出問題：如果被除數(shù)和除數(shù)同時變化，商會怎么變化？意圖讓學(xué)生綜合運用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，自主探索出“被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，商不變”的規(guī)律。按照這樣一種編排理念，楊老師在一開始就通過一個幫幼兒園老師購物這樣一個情境，先讓學(xué)生直接感知被除數(shù)不變，除數(shù)擴大或縮小，商反而縮小或擴大的現(xiàn)象，然后讓學(xué)生計算200÷2=200÷20=200÷40=，然后通過觀察、比較、猜測、驗證等一系列活動，得出“被除數(shù)不變，除數(shù)擴大或縮小幾倍，商也縮小擴大或相同的倍數(shù)”。接著讓學(xué)生根據(jù)16÷8=2160÷8=20320÷8=40這一組除法算式，用同樣的方法得出“除數(shù)不變，被除數(shù)擴大或縮小幾倍，商也擴大或縮小相同的倍數(shù)”。對于這兩個規(guī)律的獲得，楊老師不是簡單講授，而是有層次的，其中滲透了科學(xué)的探究方法。對于第一個規(guī)律，楊老師通過示范給學(xué)生展示了“計算---觀察----比較----猜測----驗證-----結(jié)論”的探索過程。對于第二個規(guī)律，楊老師采用的是引導(dǎo)學(xué)生運用剛剛獲得的探究方法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這一過程，其實是對形成科學(xué)方法的一次強化，促使學(xué)生形成一種探究模型。在此基礎(chǔ)上，楊老師又創(chuàng)設(shè)了一個孫悟空分桃子的情境，并將之歸結(jié)為三個算式：8÷4=216÷8=280÷40=2，并拋出了一個問題“如果被除數(shù)和除數(shù)同時發(fā)生變化，商會怎樣變化呢？”激發(fā)學(xué)生的學(xué)習熱情，并楊老師又提出要求：能不能用剛才我們掌握的方法，發(fā)現(xiàn)商變化的規(guī)律呢？就這一過程而言，楊老師很好地體現(xiàn)了教材的編排意圖，并創(chuàng)造性地滲透了探究方法的指導(dǎo)，使學(xué)生在掌握知識技能的同時，學(xué)會了科學(xué)的探究方法，形成了解決問題的策略。
但細思量本節(jié)課的三個環(huán)節(jié)，就其知識難易程度而言，前兩個規(guī)律是商不變性質(zhì)的鋪墊，商不變的性質(zhì)應(yīng)該是重點，也是難點。因為它牽涉到了被除數(shù)和除數(shù)同時發(fā)生變化，而這種變化還是有條件的，同時擴大或縮小相同的倍數(shù)。而楊老師的課堂教學(xué)雖然也體現(xiàn)出了教材的編排意圖，也力求體現(xiàn)探究方法的滲透，但總有平均用力的感覺。我個人認為，前兩個規(guī)律既然是第三個規(guī)律的鋪墊，那么在探究方法的滲透上也應(yīng)該成為第三個規(guī)律的鋪墊。我們可以做以下設(shè)想，第一個規(guī)律，楊老師給學(xué)生示范展示“計算---觀察----比較----猜測----驗證-----結(jié)論”的過程，適當加以總結(jié)強化，讓學(xué)生初步了解這種科學(xué)的探究方法。在探索第二個規(guī)律時，就應(yīng)該適當放手，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運用剛才的方法去探索規(guī)律，應(yīng)該說是形成初步的數(shù)學(xué)模型。而在學(xué)習商不變的規(guī)律時，教師就應(yīng)該把探究的機會完全放給學(xué)生，明確提出讓學(xué)生先觀察，發(fā)現(xiàn)誰變了，是怎么變化的？誰沒變？由這個特殊的現(xiàn)象提出自己的猜測，然后再舉例驗證，最后得出一般的規(guī)律。相信這種放手讓學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)學(xué)模型，自主探索商不變的規(guī)律的做法，學(xué)生肯定興致盎然，勁頭十足。能自始至終以一種飽滿的熱情投入到學(xué)習中去，同時獲得良好的情感體驗。
對于規(guī)律教學(xué)，我也曾做過一些嘗試，并就此寫過一篇教學(xué)反思《教給學(xué)生有營養(yǎng)的數(shù)學(xué)》，現(xiàn)在拿出來，供老師們參考指正：
所謂有營養(yǎng)的數(shù)學(xué),就是在學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)知識的過程中獲得終身可持續(xù)發(fā)展所需要的基本知識、基本技能、數(shù)學(xué)思想方法、科學(xué)探究態(tài)度及解決實際問題的創(chuàng)造能力。教給學(xué)生有營養(yǎng)的數(shù)學(xué)，就是說在課堂教學(xué)中，教師要讓學(xué)生在觀察、實驗、猜測、驗證、推理等數(shù)學(xué)活動中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，并在數(shù)學(xué)化的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)習方法培養(yǎng)，使學(xué)生能用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，解決實際問題，形成終身學(xué)習的能力，促進個體的可持續(xù)發(fā)展。
《乘法的`交換律和結(jié)合律》以加法的運算定律為基礎(chǔ)，在意義和表述上和加法的運算定律有相似之處，學(xué)生完全可以把加法的運算定律遷移到乘法的運算定律上。這里，知識技能目標很容易達到，于是，我就把本節(jié)課的重心放在過程與方法上，下面是課堂實錄：
1、復(fù)習加法的運算定律
加法交換律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
加法結(jié)合律：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
師：這里ａ和ｂ是什么數(shù)？
生：ａ和ｂ表示加數(shù)
師：ａ和ｂ可以表示什么數(shù)？
生：任何數(shù)。
師：這就是說，只要交換兩個加數(shù)的位置，和一定不變；先把前兩個加數(shù)相加或先把后兩個加數(shù)相加，和也不變。
2、探索乘法的交換律。
師：將ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ中的加號改為乘號，問：現(xiàn)在ａ和ｂ變成了什么數(shù)？
生：ａ和ｂ表示因數(shù)，
師：那么，請同學(xué)們猜一猜，交換兩個因數(shù)的位置，積相等嗎？
生1：相等。（90%的學(xué)生舉手同意）
生2：不相等。（10%的學(xué)生舉手同意）
師：很好。那現(xiàn)在認為積相等的同學(xué)組成一組，認為積不相等的同學(xué)組成第二組。拿出練習本和筆，舉例證明你的猜測是否正確，并把結(jié)論寫出來。
學(xué)生自主證明，師巡視。
師：現(xiàn)在請第二組同學(xué)推舉一名代表上來匯報你的結(jié)論。
生：我起初認為交換兩個因數(shù)的位置，積不相等。為了證明我的猜測是正確的，我舉了一個例子：2×3，交換兩個因數(shù)的位置后變?yōu)?×2，結(jié)果都是6。和我的猜測相反，說明我的猜測是錯誤的。我的結(jié)論是：交換兩個因數(shù)的位置，積不變。
師：第二組的同學(xué)有沒有不同意見？說出你的結(jié)論。
生：沒有。
師：第一組同學(xué)有意見嗎？
生：沒有。
師：很好。那就是說，交換兩個因數(shù)的位置，積不變，這就是乘法的交換律。
師：回顧小結(jié)：剛才我們根據(jù)交換兩個加數(shù)的位置和不變，提出了猜想交換兩個因數(shù)的位置積可能相等，可能不相等。為了驗證我們的猜測，同學(xué)們舉例證明了自己的猜測，得出了正確的結(jié)論：交換兩個因數(shù)的位置，積不變。這里猜測的對與錯并不重要，重要的是通過舉例驗證，無論猜測是否正確，我們都能得到正確的結(jié)論。看來，提出猜想，然后去驗證，最后得出了正確的結(jié)論確實是一個好辦法。
3、自主探索乘法的結(jié)合律。
師：下面我們就用剛才學(xué)到的方法，自己提出猜想，在練習本上舉例驗證，看一看（ａ×ｂ）×ｃ＝ａ×（ｂ×ｃ）成立不成立。
生：自主探索。
師：誰愿意上來匯報自己的結(jié)論？
生：我認為（ａ×ｂ）×ｃ＝ａ×（ｂ×ｃ），我舉了一個例子：2×3×4，結(jié)果是24，2×（3×4），結(jié)果也是24。說明（ａ×ｂ）×ｃ＝ａ×（ｂ×ｃ）。我的結(jié)論是：先把前兩個因數(shù)相乘，或先把后兩個因數(shù)相乘，積不變。
師：有沒有不同意見？說出你的結(jié)論。
生1：我的結(jié)論是交換括號的位置，積不變。
師：括號起什么作用？
生：改變運算順序。
師：那交換了括號，運算順序變化了嗎？是怎樣變化的？
生：交換括號以后，本來先算前兩個因數(shù)，現(xiàn)在要先算后兩個因數(shù)。
師：對。這就是說等號左邊是先把前兩個因數(shù)相乘，等號右邊是先把后兩個因數(shù)相乘。積不變。同意嗎？
生：同意。
（學(xué)生還出現(xiàn)了許多不同的說法，但意思相同，教師一一肯定，同時加以規(guī)范）
師：很好。通過我們的努力，我們知道了先把前兩個因數(shù)相乘，或者先把后兩個因數(shù)相乘，積都不變。能給它起個名字嗎？
生：乘法結(jié)合律。
3、課堂練習
師：請同學(xué)們打開課本，齊讀小精靈與一個學(xué)生的對話。
生：（齊讀乘法交換律和結(jié)合律。）
師：誰能改動乘法交換律中的兩個字，就把它變成加法交換律？
生：把因數(shù)變?yōu)榧訑?shù)，把積變成和。
師：很好。誰能只改動兩個字，把乘法結(jié)合律變成加法結(jié)合律？
生：把“因”改為“加”，把“積”變成“和”。
師：太有才了。
4、全課總結(jié)（略）
本節(jié)課，學(xué)生始終處于探索的興奮之中，滿懷激情投入到自主探索之中，并從中享受到了成功的快樂。特別是讓學(xué)生在練習紙上寫出自己的結(jié)論，正是促進學(xué)生思考的有效方式，因為只有動筆，才有真正的思考。只有真正的思考，學(xué)生才有所得。事實證明，當堂測試中所有的同學(xué)都掌握了乘法的交換律和結(jié)合律，并能根據(jù)乘法的交換律和結(jié)合律完成一些相關(guān)的練習。本節(jié)課的可取之處在于，學(xué)生在自主探索乘法的交換律和結(jié)合律的過程中，嘗試了科學(xué)的學(xué)習方法，經(jīng)過老師的提升，形成了一個認知模型：認真觀察――提出猜想――進行驗證――得出結(jié)論，做為一種數(shù)學(xué)能力，對學(xué)生以后的學(xué)習很有幫助。
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