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等腰三角形教學設計
第1課時 等腰三角形(一)
教學目標
【知識與技能】
1.尋找生活實例中的等腰三角形,給等腰三角形下定義,探求等腰三角形的軸對稱性和它的相關性質.
2.培養學生自主、合作、探究的學習方式,親身體驗“再發現”過程.
【過程與方法】
在探究過程中,增強協作交流,培養學生多角度思考問題的習慣,提高學生分析問題和解決問題的能力.
【情感、態度與價值觀】
經歷探索等腰三角形的軸對稱及相關性質的過程,進一步體驗軸對稱的特征,發展學生的空間意識.重點難點
【重點】
等腰三角形有關性質的探索和應用.
【難點】
等腰三角形性質的驗證.
教學過程
一、創設情境,導入新知
教師出示學生熟悉的人字梁屋架:
師:圖中的人字架屋架的外觀結構形式是什么圖形?
生:等腰三角形.
師:它有什么特點呢?
學生思考.
師:我們從這節課開始學習等腰三角形的有關知識(板書課題).
二、共同探究,獲取新知
教師引導學生操作:
畫一個等腰三角形ABC,把邊AB疊合到邊AC上,這時點B與點C重合,并出現折痕AD,如圖
學生操作,教師巡視指導.
師:△ADB與△ADC有什么關系?
生:全等.
師:哪些線段或角相等?
學生思考,教師參與探究.
學生口答:AB與AC相等,DB與DC相等,∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC.
師:AD與BC垂直嗎?
生:垂直.
師:由此你能得出什么結論?
學生小組討論.
生:等腰三角形是軸對稱圖形,底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸.
師:很好!這樣也就是說等腰三角形的兩個底角相等,簡稱“等邊對等角”.
學生熟記.
師:你能證明這個性質定理嗎?
學生交流討論.
教師提示:你先把這個命題分解為條件和結論兩部分,寫出已知、求證,然后給出證明.
教師找一名學生板演,其余同學在下面做,然后集體訂正.
已知:如圖,△ABC中,AB=AC.
求證:∠B=∠C.
證明:取BC的中點D,連接AD.在△ABD和△ACD中,
∵
∴△ABD≌△ACD.(SSS)
∴∠B=∠C.(全等三角形的對應角相等)
三、合作交流,深化理解
師:通過全等可以看出AD和BC有什么關系呢?
生:AD垂直平分BC.
師:很好!等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊,∠BAD和∠CAD有什么關系呢?
生:相等.
師:綜合上面的結論,你發現了什么?
學生思考.
共同總結:等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊,即等腰三角形頂角的平分線是底邊上的中線也是底邊上的高(簡稱三線合一).
根據性質1,師生共同得到等邊三角形的性質:等邊三角形的三個內角都相等,并且每一個角都等于60°.
四、乘勝追擊,學以致用
教師多媒體出示:
【例1】 已知:如圖所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,點D、E是底邊上兩點,且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度數.
學生討論方法.
教師巡視指導,然后集體訂正.
解:∵AB=AC,(已知)
∴∠B=∠C.(等邊對等角)
∴∠B=∠C=×(180°-120°)=30°.
又∵BD=AD,(已知)
∴∠BAD=∠B=30°.(等邊對等角)
同理∠CAE=∠C=30°.
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE
=120°-30°-30°
=60°
【例2】 已知:如圖所示,在△ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,求∠A和∠C的度數.
師:由AB=AC,你能得到什么結論?
生:∠ABC=∠C.
師:由BD=BC=AD呢?
生:∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.
師:你能找出∠A與∠C的關系嗎?你能找出∠A與∠BDC的關系嗎?
生:能.∠BDC=∠A+∠ABD,又因為∠ABD=∠A,所以∠BDC=2∠A.
師:現在你知道∠A與∠C的關系嗎?
生:知道.∠C=∠BDC=2∠A.
教師找一名學生板演,其余同學在下面做,然后集體訂正.
解:∵AB=AC,BD=BC=AD,(已知)
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD.(等邊對等角)
設∠A=x°,
則∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和)
∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°,
∴x+2x+2x=180.(三角形三個內角和等于180°)
得x=36.
∴∠A=36°,∠C=72°.
五、課堂小結
師:今天我們學習了什么知識?你有哪些收獲?
學生回答.
師:你還有哪些疑問?
學生提問,教師解答.
教學反思
等腰三角形是軸對稱圖形,可以借助軸對稱變換來研究等腰三角形的一些特征.為此,我以軸對稱圖形為切入點,先讓學生通過折紙、猜想、驗證等腰三角形的性質,然后運用全等三角形的知識加以論證,使學生思維由形象直觀過渡到抽象的邏輯演繹,層層展開,步步深入,從而實現教學目的.善于做解題后的反思、方法的歸類、規律的小結和技巧的揣摩,再進一步做一題多變、一題多問、一題多解,挖掘例題的深度和廣度,擴大例題的輻面,無疑對能力的提高和思維的發展是大有裨益的.
第2課時 等腰三角形(二)
教學目標
【知識與技能】
1.掌握等腰三角形的判定定理及推論,并能夠靈活應用它進行有關的論證和計算.
2.掌握等邊三角形的判定定理,并能夠 靈活應用它進行有關論證和計算.
【過程與方法】
1.在探究過程中,增強協作交流,培養學生多角度思考問題的習慣,提高學生分析問題和解決問題的能力.
2.通過觀察等腰三角形和等邊三角形的判定定理,培養學生的觀察、分析能力,發展學生的形象思維能力.
【情感、態度與價值觀】
1.發展學生的動手、歸納猜想能力,培養學生的文字表達能力和幾何證明能力.
2.掌握歸納思維方法,領會數學的轉化思想.
3.發展學生的獨立思考、勇于探索的創新精神.
重點難點
【重點】
等腰三角形的判定定理及其應用.
【難點】
等腰三角形的性質定理與判定定理的區別.
教學過程
一、創設情境,導入新知
師:請同學們回顧一下,等腰三角形的性質有哪些?
生:等腰三角形的兩底角相等,簡寫為“等邊對等角”.
師:這個命題的逆命題是什么?
生:等角對等邊.
師:這是個真命題嗎?我們今天就來研究這個問題.
二、共同探究,獲取新知
師:作出圖形,根據圖形,在△ABC中,∠C=∠B,AB=AC嗎?
學生討論交流、思考回答.
教師讓學生作一個有兩個角相等的三角形,量一量它們所對的邊.
師:你發現了什么結論?
生:AB=AC.
師:為什么?
生:在△ABC中,過點A作∠A的平分線交BC于點D,則頂角被平分,又兩底角相等,由三角形內和性質得∠ADB=∠ADC.沿直線AD折疊,點B與點C重合,因此AB=AC.
師:很好,這就是等腰三角形的判定定理:有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱等角對等邊).
學生熟記.
師:大家想一下,三個角都相等的三角形是什么三角形?
學生思考,教師點撥:分別與鄰邊相等.
生:三個角都相等的三角形是等邊三角形.
師:有一個角是60°的等腰三角形是什么三角形呢?
生:有一個角是60°的等腰三角形是等邊三 角形.
師:在證明中,由△ABD≌△ACD我們能得到什么?
生:BD=DC,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°.
師:這說明了什么?
學生思考后回答:說明AD既是中線,又是角平分線,還是高.
師:對,同學們觀察得很仔細.所以我們能得到等腰三角形的又一性質:等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊.換句話說,等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高三線合一.
學生熟記.
三、合作交流,深化理解
教師多媒體出示:
學生小組合作分析.
師:BC和BD是什么關系?
生:BC等于BD的一半.
師:BC和AB是什么關系呢?
生:BC等于AB的一半.
師:你可以得到什么結論?
生:在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊是斜邊的一半.
師:同學們能給出證明嗎?
生:能,如上圖所示,易證得△ACD≌△ACB,∴AD=AB,∠BAC=∠DAC=30°,∠BAD=60°,∴△ABD是等邊三角形,∴BD=AB,BC=BD=AB,故得證.
師:很好!下面我們再來看一個題目.
求證:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.
已知:如圖(1),在Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
證明:在平面內移動Rt△ABC和Rt△A'B'C',使點A和點A'、點C和點C'重合,點B和點B'在AC的兩側,如圖(2).
(1) (2)
∵∠BCB'=90°+90=180°,(等式性質)
∴B、C、B'三點在一條直線上.(平角的定義)
在△ABB'中,
∵AB=AB',(已知)
∴∠B=∠B'.(等邊對等角)
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.(AAS)
四、講解例題,加深認識
教師多媒體出示:
【例】 如圖,一艘船從A處出發,以每小時10n ile(海里)的速度向正北航行,從A處測得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果這艘船上午8:00從A處出發,10:00到達B處,從B處測得礁石C在北偏西60°的方向上.
學生交流討論.
師:根據哪些信息來確定它的位置呢?
生:根據“在A處測得礁石C在北偏西30°的方向”和“從B處測得礁石C在北偏西60°的方向上”這兩句.
師:然后你怎樣找出礁石C的位置呢?
生:以B為頂點,向北偏西60°作角,這角一邊與AC交于點C,則C點就是礁石C的位置.
師:很好.
教師引導學生思考作答,然后集體訂正.
五、課堂小結
師:今天你學習到了什么內容?有什么收獲?
學生回答.
教學反思
本節課我先讓學生復習了上節課學習的等腰三角形的性質定理,然后讓他們說出它的逆定理,由判斷它的真假引出本節課,增強學生的好奇心和求知欲.在教法設計上,我把重點放在了逐步展示知識的形成過程上,由個別現象到一般抽象,體現出了學生從感性認識到理性認識發生發展的認知過程.在教學過程中,注意引導學生對解題思路和方法進行總結,滲透化歸思想與分類討論數學思想,注意培養學生形成積極探索主動學習的態度,充分體現數學教學主要是數學活動的教學,促進學生之間的合作、交流意識,培養學生的語言表達能力,增強小組合作意識.
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