《鴿巢問題》教學設計

時間：2023-03-09 04:33:51 教學設計我要投稿

《鴿巢問題》教學設計

　　教學目標：

《鴿巢問題》教學設計

　　1、知識與技能：初步了解鴿巢原理，學會簡單的鴿巢原理分析方法，運用鴿巢原理的知識解決簡單的實際問題或解釋相關的現象。

　　2、過程與方法：通過操作、觀察、比較、說理等數學活動，使學生經歷鴿巢原理的形成過程，體會和掌握邏輯推理思想和模型思想。

　　3、情感態度：通過對鴿巢原理的靈活運用，感受數學的魅力，體會數學的價值，提高學習數學的興趣。

　　教學重點：經歷“鴿巢原理”的探究過程，理解鴿巢原理。

　　教學難點：理解“鴿巢原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。

　　教學準備：多媒體課件、鉛筆、紙杯、合作探究作業紙。

　　教學過程：

　　一、喚起與生成

　　1、談話：同學們，你們喜歡魔術嗎？今天，黃老師給大家表演一個小魔術。一副牌，取出大小王，還剩52張牌，請5個同學每人隨意抽一張，我知道至少有2張牌是同花色的。相信嗎？來，試試看。

　　2、驗證：抽取，統計。是不是湊巧了，再來一次。表演成功！

　　3、至少2張是什么意思？（也就是最少2張，最起碼2張，反過來，同一花色的可能有2張，也可能是3張、4張、5張...，一句話概括就是至少2張）。

　　確定是哪個花色了嗎？（沒有）反正總有一個花色，所以，這個數據不管是在哪個花色出現都證明表演是成功的。

　　4、設疑：你們想知道這是為什么嗎？其實這里面蘊藏著一個非常有趣的數學原理，這節課讓我們一起去發現！

　　二、探究與解決

　　（一）、小組探究：4放3的簡單鴿巢問題

　　1、出示：把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。

　　2、審題：

　　①讀題。

　　②從題目上你知道了什么？證明什么？

　　（我知道了把4支鉛筆放進3個筆筒中，證明不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。）

　　③你怎樣理解“不管怎么放”、“總有” 、“至少”的意思？

　　“不管怎么放”：就是隨便放、任意放。

　　“總有”：就是一定有，不確定是哪個筆筒，這個筆筒沒有那個筆筒會有。

　　“至少”：就是最少，最起碼。至少有2支，就是最少有2支，不能少于2支。也可能是3支、4支、甚至5支。

　　3、探究：

　　①談話：看來大家已經理解題目的意思了，眼見為實，就讓我們親自動手擺一擺、放一放，看看有哪幾種放法？

　　②活動：小組活動，四人小組。

　　聽要求！

　　活動要求：每個小組都有筆筒和筆，請四個人中面對面的兩人一人扶杯子一人放鉛筆，另外兩人一人口述一人記錄，讓我們齊心協力，擺出所有情況后，對照題目，看有什么發現。

　　聽明白了嗎？開始！

　　3、反饋：匯報結果

　　同學們辦法真多，有用畫圖法，有用數的分解來表示，都很清晰。誰來匯報一下你們的成果？

　　可以在第一個筆筒中放4支鉛筆，其他兩個空著。這種放法可以說成（4,0,0），（3,1,0），（2,2,0），（2,1,1）（課件逐一出示）

　　追問：誰還有疑問或補充？

　　預設：說一說你比他多了哪一種放法？

　　（2，1，1）和（1，1，2）是一種方法嗎？為什么？）

　　只是位置不同，方法相同

　　5、驗證：觀察這4種擺法，憑什么說“總有一個筆筒中至少有2支鉛筆”？

　　（1）逐一驗證：

　　第一種擺法（4，0，0），是不是總有一個筆筒至少2支，哪個？放的最多的筆筒里有4支，比2支多也可以嗎？

　　符合總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。

　　第二種擺法（3，1，0），符合。哪個？放的最多的筆筒里有3支，符合總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。

　　第三種擺法（2，2，0），放的最多的筆筒里有2支，符合總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。

　　第四種擺法（2，1，1），放的最多的筆筒里有2支，符合總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。

　　符合條件的那個筆筒在三個筆筒中都是最多的。

　　（2）設疑：我有一個疑問，第一種擺法（4，0，0）放的最多的筆筒里，放有4支，可以說總有一個筆筒至少有4 支鉛筆嗎？說成3支也不行嗎？

　　（3）小結：哦，原來是這樣，要考慮所有擺法，然后在所有擺法中，圈出每一種擺法中最多的，再從最多的里面找到至少數，就能得出這個結論。

　　所以，把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。

　　（二）自主探究：5放4的簡單鴿巢原理

　　1、過渡：依此推想下去

　　2、出示：把5支鉛筆放進4個筆筒，不管怎么放，總有一個筆筒至少有（）支鉛筆。

　　3、猜想：同學們猜猜看，至少數是幾支？（你說、你說）

　　4、驗證：你們的猜測對嗎？讓我們來驗證一下。

　　活動要求：

　　（1）思考有幾種擺法？記錄下來。

　　（2）觀察每一種擺法，能不能從中找出答案。有困難的可以同桌合作。

　　好，開始。（教師參與其中）。

　　5、匯報：把5支鉛筆放進4個筆筒中，共有6種擺法

　　分別是：5000 、4100、 3200、 3110 、2200、2111

　　（課件同步播放）

　　預設：我圈出了每種擺法中，放鉛筆最多的那個筆筒，然后發現，放鉛筆最多的的筆筒里面至少放有2支鉛筆。

　　6、訂正：有補充的嗎？噢，我們來看，這6種擺法，把每種方法里放的（停頓）最多的鉛筆圈出來了，分別是5支、4支、3支、2支，從中找到至少數是2支。

　　7、小結：恭喜答對的同學！同學們可真是厲害！請看，我們研究了這樣的兩個問題：

　　①把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。會講為什么。

　　②把5支鉛筆放進4個筆筒，不管怎么放，總有一個筆筒至少有幾支鉛筆？會求至少數。

　　不管是對結論的證明還是求解至少數，我們都采用一一列舉的方法，羅列出所有擺法，再通過觀察，得出結論。

　　（三）、探究鴿巢原理算式

　　1、談話：哎，如果這里有 100支鉛筆放進30個筆筒，不管怎么放，總有一個筆筒至少有幾支鉛筆？

　　還是讓求至少數，還用一一列舉的方法來研究，你覺得怎么樣？

　　（好麻煩，是啊，想想都覺得麻煩！）

　　2、追問：數學是一門簡潔的科學，那就請同學們想一想，除了通過操作一一列舉出來，有沒有什么方法能一下子找到結果呢？

　　其實，我們剛才已經和那一種方法見過面，以4放3為例，請同學們認真觀察每一種擺法，分別找一找，哪一種擺法最能說明：總有一個筆筒里至少放有2支鉛筆呢？

　　3、平均分：為什么這樣分呢？

　　生：我是這樣想的，先假設每個筆筒中放1支，這樣還有1支，這是無論放到哪個筆筒，那個筆筒中就有2支了，所以我認為是對的。（課件演示）

　　師：你為什么要先在每個筆筒中放1支呢？

　　生：因為總共只有4支，平均分，每個筆筒只能分到1支。

　　師：為什么一開始就要去平均分呢？

　　生：平均分，就可以使每個筆筒中的筆盡可能少一點。也就有可能找到和題目意思不一樣的情況。

　　師：我明白了，但這樣能證明總有一個筆筒中肯定會有2 支筆，怎么就證明了至少有2支呢？

　　生：平均分已經使每個筆筒中的筆盡可能的少了，如果這樣都符合要求，那另外的情況肯定也是符合要求的了。

　　師：看來，平均分是保證“至少”數的關鍵。

　　4、列式：

　　①你能用算式表示嗎？

　　4÷3=1……1?? 1+1=2

　　②講講算式含義。

　　a、指名講：假設把4支鉛筆平均放進3個筆筒中，每個筆筒放1支，剩下的1支就要放進其中的一個筆筒，1+1=2，所以總有一個筆筒至少有2支鉛筆。

　　b、真棒！講給你的同桌聽。

　　5、運用：把5支鉛筆放進4個筆筒不管怎么放，總有一個筆筒至少有幾支鉛筆？? 請用算式表示出來。

　　5÷4=1……1?? 1+1=2

　　說說算式的意思。

　　a、同桌齊說。

　　b、誰來說一說？

　　師：我們會用除法算式表示平均分的過程，這種方法更為快捷、簡明。

　　（四）探究稍復雜的鴿巢問題

　　1、加深感悟：我們繼續研究這樣的問題，邊計算邊思考：這樣的題目有什么特點？結論中的至少數是怎樣得到的？

　　2、題組（開火車，口答結果并口述算式）

　　（1）6支鉛筆放進5個筆筒里，總有一個筆筒里面至少有（）支鉛筆

　　（2）7支鉛筆放進5個筆筒里，總有一個筆筒里面至少有（）支鉛筆

　　7÷5=1…… 2?? 1+2=3?

　　7÷5=1…… 2?? 1+1=2

　　出現了兩種答案，究竟那種正確？同桌商量商量。不行我再救場（學生討論）

　　你認為哪種結果正確？為什么？

　　質疑：為什么第二次還要平均分？（保證“至少”）

　　把鉛筆平均分才是解決問題的關鍵啊。

　　（3）把筆的數量進一步增加：

　　8支鉛筆放5個筆筒里，至少數是多少？

　　8÷5=1……3?? 1+1=2

　　（4）9支鉛筆放5個筆筒里，至少數是多少？

　　9÷5=1……4?? 1+1=2

　　（5）好，再增加一支鉛筆？至少數是多少？

　　還用加嗎？為什么？? 10÷5=2?? 正好分完, 至少數是商

　　（6）好再增加一支鉛筆,,你來說

　　11÷5=2……1?? 2+1=3?? 3個

　　①你來說說現在至少數為什么變成3個了？（因為商變了，所以至少數變成了3.）

　　②那同學們再想想，鉛筆的支數到多少支時，至少數還是3？

　　③鉛筆的支數到多少支的時候，至少數就變成了4了呢？

　　（7）把28支鉛筆放進5個筆筒里，總有一個筆筒里面至少放進（? ）支鉛筆。28÷5=5……3?? 5+1=6??

　　（8）算的這么快，你一定有什么竅門？（比比至少數和商）

　　（9）把m支鉛筆放進n個筆筒里，總有一個筆筒里面至少放進（? ）支鉛筆。（商+1）

　　3、觀察算式，同桌討論，發現規律。

　　鉛筆數÷筆筒數=商……余數” “至少數=商+1”

　　你和他們的發現相同嗎？出示：商+1

　　4、質疑：和余數有沒有關系？

　　（明確：與余數無關，因為不管余多少，都要再平均分，所以就用“商+1”）

　　（五）歸納概括鴿巢原理

　　1、解答：那現在會求100支鉛筆放進30個筆筒中的至少數了嗎？

　　100÷30=3…… 10?? 3+1=4 至少數是4個

　　(因為把100支鉛筆平均放進30個筆筒中，每個筆筒屜放3支，剩下的10支在平均再放進其中10個筆筒中。所以，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放進4支鉛筆。)

　　2、推廣：

　　剛才我們研究了鉛筆放入筆筒的問題，其他還有很多問題和它有相同之處。請看：

　　（1）書本放進抽屜

　　把8本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進3本書。為什么？

　　8÷3=2……2? 2+1=3

　　(因為把8本書平均放進3個抽屜，每個抽屜放2本，剩下的2本就要放進其中的2個抽屜。所以，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進3本書。)

　　（2）鴿子飛進鴿巢

　　11只鴿子飛進4個鴿籠，至少有幾只鴿子飛進同一只鴿籠？

　　11÷4=2……3? 2+1=3

　　答：至少有 3只鴿子飛進同一只鴿籠。

　　（3）車輛過高速路收費口（圖）

　　（4）搶凳子

　　書、鴿子、同學就相當于鉛筆，稱為要放的物體，抽屜、鴿籠、凳子就相當于筆筒，統稱為抽屜。物體數量大于抽屜數量，類似的問題我們都可以用這種方法解答。

　　3、建立模型：鴿巢原理：

　　同學們發現的這個原理和一位數學家發現的一模一樣，讓我們追溯到150多年以前：

　　知識鏈接：（課件）最早指出這個數學原理的，是十九世紀的德國數學家“狄利克雷”，后來人們為了紀念他從這么平凡的事情中發現的規律，就把這個規律用他的名字命名，叫“狄利克雷原理”。以上這些問題有相同之處，其實鴿巢、抽屜就相當于筆筒，鴿子、書就相當于鉛筆。人們對鴿子飛回鴿巢這個事例記憶猶新，所以像這樣的數學問題就叫做鴿巢問題或抽屜問題，它被廣泛地應用于現實生活中。運用這一規律能解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結果。

　　揭示課題：這是我們今天學習的第五單元數學廣角——鴿巢問題，它們里面蘊含的這種數學原理，我們就叫做鴿巢原理或抽屜原理。

　　5、小結：分析這類問題時，要想清楚誰是鴿子，誰是鴿巢？

　　有信心用我們發現的原理繼續接受挑戰嗎？

　　3、鞏固與應用

　　那我們回頭看看課前小魔術，你明白它的秘密了嗎？

　　1、揭秘魔術：一副牌，取出大小王，還剩52張牌，你們5 人每人隨意抽一張，我知道至少有2張牌是同花色的。

　　答：因為把5張牌，平均分在4個花色里，每個花色有1張，剩下的1張無論是什么花色，總有一個花色至少是2張。

　　正確應用鴿巢原理是表演成功的秘密武器！

　　2、飛鏢運動

　　同學們玩過投飛鏢嗎？飛鏢運動是一種集競技、健身及娛樂于一體的紳士運動。

　　課件：張叔叔參加飛鏢運動比賽，投了5鏢，成績是41環，張叔叔至少有一鏢不低于（? ）環。

　　在練習本上算一算，講給你的同桌聽聽。