《函數奇偶性》優秀的教學設計

時間：2021-07-16 15:56:12 教學設計我要投稿

《函數奇偶性》優秀的教學設計范文

　　作為一位不辭辛勞的人民教師，通常需要用到教學設計來輔助教學，教學設計是對學業業績問題的解決措施進行策劃的過程。那么優秀的教學設計是什么樣的呢？以下是小編精心整理的《函數奇偶性》優秀的教學設計范文，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

《函數奇偶性》優秀的教學設計范文

　　《函數奇偶性》優秀的教學設計1

　　教學分析

　　本節討論函數的奇偶性是描述函數整體性質的、教材沿用了處理函數單調性的方法，即先給出幾個特殊函數的圖象，讓學生通過圖象直觀獲得函數奇偶性的認識，然后利用表格探究數量變化特征，通過代數運算，驗證發現的數量特征對定義域中的“任意”值都成立，最后在這個基礎上建立了奇（偶）函數的概念、因此教學時，充分利用信息技術創設教學情境，會使數與形的結合更加自然、

　　值得注意的問題：對于奇函數，教材在給出的表格中留出大部分空格，旨在讓學生自己動手計算填寫數據，仿照偶函數概念建立的過程，獨立地去經歷發現、猜想與證明的全過程，從而建立奇函數的概念、教學時，可以通過具體例子引導學生認識，并不是所有的函數都具有奇偶性，如函數y=x與y=2x—1既不是奇函數也不是偶函數，可以通過圖象看出也可以用定義去說明、

　　三維目標

　　1、理解函數的奇偶性及其幾何意義，培養學生觀察、抽象的能力，以及從特殊到一般的概括、歸納問題的能力、

　　2、學會運用函數圖象理解和研究函數的性質，掌握判斷函數的奇偶性的方法，滲透數形結合的數學思想、

　　重點難點

　　教學重點：函數的奇偶性及其幾何意義、

　　教學難點：判斷函數的奇偶性的方法與格式、

　　課時安排：1課時

　　教學過程

　　導入新課

　　思路1、同學們，我們生活在美的世界中，有過許多對美的感受，請大家想一下有哪些美呢？（學生回答可能有和諧美、自然美、對稱美……）今天，我們就來討論對稱美，請大家想一下哪些事物給過你對稱美的感覺呢？（學生舉例，再在屏幕上給出一組圖片：喜字、蝴蝶、建筑物、麥當勞的標志）生活中的美引入我們的數學領域中，它又是怎樣的情況呢？下面，我們以麥當勞的標志為例，給它適當地建立平面直角坐標系，那么大家發現了什么特點呢？（學生發現：圖象關于y軸對稱）數學中對稱的形式也很多，這節課我們就同學們談到的與y軸對稱的函數展開研究、

　　思路2、結合軸對稱與中心對稱圖形的定義，請同學們觀察圖形，說出函數y=x2和y=x3的圖象各有怎樣的對稱性？引出課題：函數的奇偶性、

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　�。�1）如圖1所示，觀察下列函數的圖象，總結各函數之間的共性、

　　圖1

　�。�2）如何利用函數的解析式描述函數的、圖象關于y軸對稱呢？填寫表1和表2，你發現這兩個函數的解析式具有什么共同特征？

　　表1

　　x—3—2—10123

　　f（x）=x2

　　表2

　　x—3—2—10123

　　f（x）=|x|

　　（3）請給出偶函數的定義、

　�。�4）偶函數的圖象有什么特征？

　�。�5）函數f（x）=x2，x∈[—1，2]是偶函數嗎？

　�。�6）偶函數的定義域有什么特征？

　�。�7）觀察函數f（x）=x和f（x）=1x的圖象，類比偶函數的推導過程，給出奇函數的定義和性質？

　　活動：教師從以下幾點引導學生：

　　（1）觀察圖象的對稱性、

　�。�2）學生給出這兩個函數的解析式具有什么共同特征后，教師指出：這樣的函數稱為偶函數、

　　（3）利用函數的解析式來描述、

　　（4）偶函數的性質：圖象關于y軸對稱、

　�。�5）函數f（x）=x2，x∈[—1，2]的圖象關于y軸不對稱；對定義域[—1，2]內x=2，f（—2）不存在，即其函數的定義域中任意一個x的相反數—x不一定也在定義域內，即f（—x）=f（x）不恒成立、

　�。�6）偶函數的定義域中任意一個x的相反數—x一定也在定義域內，此時稱函數的定義域關于原點對稱、

　�。�7）先判斷它們的圖象的共同特征是關于原點對稱，再列表格觀察自變量互為相反數時，函數值的變化情況，進而抽象出奇函數的概念，再討論奇函數的性質、

　　給出偶函數和奇函數的定義后，要指明：①函數是奇函數或是偶函數稱為函數的`奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；②由函數的奇偶性定義，可知函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則—x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）；③具有奇偶性的函數的圖象的特征：偶函數的圖象關于y軸對稱，奇函數的圖象關于原點對稱；④可以利用圖象判斷函數的奇偶性，這種方法稱為圖象法，也可以利用奇偶函數的定義判斷函數的奇偶性，這種方法稱為定義法；⑤函數的奇偶性是函數在定義域上的性質，是“整體”性質，而函數的單調性是函數在定義域的子集上的性質，是“局部”性質、

　　討論結果：（1）這兩個函數之間的圖象都關于y軸對稱。

　　（2）

　　表1

　　x—3—2—10123

　　f（x）=x29410149

　　表2

　　x—3—2—10123

　　f（x）=|x|3210123

　　這兩個函數的解析式都滿足：

　　f（—3）=f（3）；

　　f（—2）=f（2）；

　　f（—1）=f（1）、

　　可以發現對于函數定義域內任意的兩個相反數，它們對應的函數值相等，也就是說對于函數定義域內任一個x，都有f（—x）=f（x）、

　　（3）一般地，如果對于函數f（x）的定義域內的任意一個x，都有f（—x）=f（x），那么函數f（x）就叫做偶函數、

　�。�4）偶函數的圖象關于y軸對稱、

　�。�5）不是偶函數、

　　（6）偶函數的定義域關于原點對稱、

　　（7）一般地，如果對于函數f（x）的定義域內的任意一個x，都有f（—x）=—f（x），那么函數f（x）就叫做奇函數、奇函數的圖象關于原點中心對稱，其定義域關于原點對稱、

　　應用示例

　　思路1

　　例1判斷下列函數的奇偶性：

　�。�1）f（x）=x4；

　　（2）f（x）=x5；

　�。�3）f（x）=x+1x；

　　（4）f（x）=1x2、

　　活動：學生思考奇偶函數的定義，利用定義來判斷其奇偶性、先求函數的定義域，并判斷定義域是否關于原點對稱，如果定義域關于原點對稱，那么再判斷f（—x）=f（x）或f（—x）=—f（x）、

　　解：（1）函數的定義域是R，對定義域內任意一個x，都有f（—x）=（—x）4=x4=f（x），

　　所以函數f（x）=x4是偶函數、

　�。�2）函數的定義域是R，對定義域內任意一個x，都有f（—x）=（—x）5=—x5=—f（x），

　　所以函數f（x）=x5是奇函數、

　　（3）函數的定義域是（—∞，0）∪（0，+∞），對定義域內任意一個x，都有f（—x）=—x+1—x=—x+1x=—f（x），

　　所以函數f（x）=x+1x是奇函數、

　�。�4）函數的定義域是（—∞，0）∪（0，+∞），對定義域內任意一個x，都有f（—x）=1（—x）2=1x2=f（x），所以函數f（x）=1x2是偶函數、

　　點評：本題主要考查函數的奇偶性、函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍，對定義域內任意x，其相反數—x也在函數的定義域內，此時稱為定義域關于原點對稱、

　　利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：

　�、偈紫却_定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；

　�、诖_定f（—x）與f（x）的關系；

　�、圩鞒鱿鄳Y論：

　　若f（—x）=f（x）或f（—x）—f（x）=0，則f（x）是偶函數；

　　若f（—x）=—f（x）或f（—x）+f（x）=0，則f（x）是奇函數、

　　變式訓練

　　設f（x）是R上的任意函數，則下列敘述正確的是（　�。�

　　A、f（x）f（—x）是奇函數

　　B、f（x）|f（—x）|是奇函數

　　C、f（x）—f（—x）是偶函數

　　D、f（x）+f（—x）是偶函數

　　解析：A中設F（x）=f（x）f（—x），則F（—x）=f（—x）f（x）=F（x），即函數F（x）=f（x）f（—x）為偶函數；

　　B中設F（x）=f（x）|f（—x）|，F（—x）=f（—x）|f（x）|，此時F（x）與F（—x）的關系不能確定，即函數F（x）=f（x）|f（—x）|的奇偶性不確定；

　　C中設F（x）=f（x）—f（—x），F（—x）=f（—x）—f（x）=—F（x），即函數F（x）=f（x）—f（—x）為奇函數；

　　D中設F（x）=f（x）+f（—x），F（—x）=f（—x）+f（x）=F（x），即函數F（x）=f（x）+f（—x）為偶函數、

　　答案：D

　　例2已知函數f（x）是定義在（—∞，+∞）上的偶函數、當x∈（—∞，0）時，f（x）=x—x4，則當x∈（0，+∞）時，f（x）=__________、

　　《函數奇偶性》優秀的教學設計2

　　活動：學生思考偶函數的解析式的性質，考慮如何將在區間（0，+∞）上的自變量對應的函數值，轉化為區間（—∞，0）上的自變量對應的函數值、利用偶函數的性質f（x）=f（—x），將在區間（0，+∞）上的自變量對應的函數值，轉化為區間（—∞，0）上的自變量對應的函數值、

　　解析：當x∈（0，+∞）時，則—x<0、

　　又∵當x∈（—∞，0）時，f（x）=x—x4，

　　∴f（x）=f（—x）=（—x）—（—x）4=—x—x4、

　　答案：—x—x4

　　點評：本題主要考查函數的解析式和奇偶性、已知函數的奇偶性，求函數的解析式時，要充分利用函數的奇偶性，將所求解析式的區間上自變量對應的函數值轉化為已知解析式的區間上自變量對應的函數值、

　　變式訓練

　　已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x>0時，f（x）=x2+3x，求f（x）、

　　解：當x=0時，f（—0）=—f（0），則f（0）=0；

　　當x<0時，—x>0，由于函數f（x）是奇函數，則

　　f（x）=—f（—x）=—[（—x）2+3—x]=—x2+3x，

　　綜上所得，f（x）=

　　思路2

　　例1判斷下列函數的奇偶性、

　�。�1）f（x）=2x4，x∈[—1，2]；

　�。�2）f（x）=x3—x2x—1；

　�。�3）f（x）=x2—4+4—x2；

　�。�4）f（x）=1+x2+x—11+x2+x+1、

　　活動：學生思考奇偶函數的定義和函數的定義域的求法、先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，再判斷f（—x）與f（x）的關系、在（4）中注意定義域的求法，對任意x∈R，有1+x2>x2=|x|≥—x，則1+x2+x>0、則函數的定義域是R、

　　解：（1）∵它的定義域關于原點不對稱，∴函數f（x）=2x4，x∈[—1，2]既不是奇函數也不是偶函數、

　�。�2）∵它的定義域為{x|x∈R，且x≠1}，并不關于原點對稱，∴函數f（x）=x3—x2x—1既不是奇函數也不是偶函數、

　　（3）∵x2—4≥0且4—x2≥0，

　　∴x=±2，

　　即f（x）的定義域是{—2，2}、

　　∵f（2）=0，f（—2）=0，

　　∴f（2）=f（—2），f（2）=—f（2）、

　　∴f（—x）=—f（x），且f（—x）=f（x）、

　　∴f（x）既是奇函數也是偶函數、

　　（4）函數的定義域是R、

　　∵f（—x）+f（x）

　　=1+x2—x—11+x2—x+1+1+x2+x—11+x2+x+1

　　=1+x2—（x+1）2+1+x2—（x—1）2（1+x2—x+1）（1+x2+x+1）

　　=1+x2—x2—2x—1+1+x2—x2+2x—1（1+x2—x+1）（1+x2+x+1）

　　=0，

　　∴f（—x）=—f（x）、

　　∴f（x）是奇函數、

　　點評：本題主要考查函數的奇偶性、

　　定義法判斷函數奇偶性的步驟是：（1）求函數的定義域，當定義域關于原點不對稱時，則此函數既不是奇函數也不是偶函數，當定義域關于原點對稱時，判斷f（—x）與f（x）或—f（x）是否相等；（2）當f（—x）=f（x）時，此函數是偶函數；當f（—x）=—f（x）時，此函數是奇函數；（3）當f（—x）=f（x）且f（—x）=—f（x）時，此函數既是奇函數又是偶函數；（4）當f（—x）≠f（x）且f（—x）≠—f（x）時，此函數既不是奇函數也不是偶函數、

　　判斷解析式復雜的函數的奇偶性時，如果定義域關于原點對稱時，通�；唂（—x）+f（x）來判斷f（—x）=f（x）或f（—x）=—f（x）是否成立、

　　變式訓練

　　函數f（x）=x2—2ax+a在區間（—∞，1）上有最小值，則函數g（x）=f（x）x在區間（1，+∞）上一定（　�。�

　　A、有最小值　　B、有最大值

　　C、是減函數D、是增函數

　　解析：函數f（x）=x2—2ax+a的對稱軸是直線x=a，

　　由于函數f（x）在開區間（—∞，1）上有最小值，

　　所以直線x=a位于區間（—∞，1）內，

　　即a<1、g（x）=f（x）x=x+ax—2，

　　下面用定義法判斷函數g（x）在區間（1，+∞）上的單調性、

　　設1

　　則g（x1）—g（x2）=（x1+ax1—2）—x2+ax2—2

　　=（x1—x2）+ax1—ax2

　　=（x1—x2）1—ax1x2

　　=（x1—x2）x1x2—ax1x2、

　　∵11>0、

　　又∵a<1，∴x1x2>a、

　　∴x1x2—a>0、

　　∴g（x1）—g（x2）<0、

　　∴g（x1）

　　∴函數g（x）在區間（1，+∞）上是增函數，函數g（x）在區間（1，+∞）上沒有最值、

　　答案：D

　　例2已知函數f（x）的定義域是x≠0的一切實數，對定義域內的任意x1，x2，都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且當x>1時f（x）>0，f（2）=1，

　　（1）求證：f（x）是偶函數；

　�。�2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數；

　�。�3）試比較f—52與f74的大小、

　　活動：（1）轉化為證明f（—x）=f（x），利用賦值法證明f（—x）=f（x）；（2）利用定義法證明單調性，證明函數單調性的步驟是“去比賽”；（3）利用函數的單調性比較它們的大小，利用函數的奇偶性，將函數值f—52和f74轉化為同一個單調區間上的函數值、

　�。�1）證明：令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0、

　　令x1=x2=—1，得f（1）=f[（—1）×（—1）]=f（—1）+f（—1），∴2f（—1）=0、

　　∴f（—1）=0、∴f（—x）=f（—1x）=f（—1）+f（x）=f（x）、∴f（x）是偶函數、

　�。�2）證明：設x2>x1>0，則

　　f（x2）—f（x1）=fx1x2x1—f（x1）=f（x1）+fx2x1—f（x1）=fx2x1、

　　∵x2>x1>0，∴x2x1>1、∴fx2x1>0，即f（x2）—f（x1）>0、

　　∴f（x2）>f（x1）、∴f（x）在（0，+∞）上是增函數、

　�。�3）解：由（1）知f（x）是偶函數，則有f—52=f52、

　　由（2）知f（x）在（0，+∞）上是增函數，則f52>f74、∴f—52>f74、

　　點評：本題是抽象函數問題，主要考查函數的奇偶性和單調性及其綜合應用、判斷抽象函數的奇偶性和單調性通常應用定義法，比較抽象函數值的大小通常利用抽象函數的單調性來比較、其關鍵是將所給的關系式進行有效的變形和恰當的賦值、

　　變式訓練

　　已知f（x）是定義在（—∞，+∞）上的不恒為零的函數，且對定義域內的任意x，y，f（x）都滿足f（xy）=yf（x）+xf（y）、

　�。�1）求f（1），f（—1）的值；

　　（2）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由、

　　分析：（1）利用賦值法，令x=y=1得f（1）的值，令x=y=—1，得f（—1）的值；（2）利用定義法證明f（x）是奇函數，要借助于賦值法得f（—x）=—f（x）、

　　解：（1）∵f（x）對任意x，y都有f（xy）=yf（x）+xf（y），

　　∴令x=y=1時，有f（1×1）=1×f（1）+1×f（1）、

　　∴f（1）=0、

　　∴令x=y=—1時，有f[（—1）×（—1）]=（—1）×f（—1）+（—1）×f（—1）、∴f（—1）=0、

　�。�2）是奇函數、

　　∵f（x）對任意x，y都有f（xy）=yf（x）+xf（y），

　　∴令y=—1，有f（—x）=—f（x）+xf（—1）、

　　將f（—1）=0代入得f（—x）=—f（x），

　　∴函數f（x）是（—∞，+∞）上的奇函數、

　　知能訓練

　　課本本節練習，1，2、

　　【補充練習】

　　1、設函數y=f（x）是奇函數、若f（—2）+f（—1）—3=f（1）+f（2）+3，則f（1）+f（2）=__________、

　　解析：∵函數y=f（x）是奇函數，∴f（—2）=—f（2），f（—1）=—f（1）、

　　∴—f（2）—f（1）—3=f（1）+f（2）+3、∴2[f（1）+f（2）]=—6、∴f（1）+f（2）=—3、

　　答案：—3

　　2、已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數，定義域為[a—1，2a]，則a=__________，b=__________、

　　解析：∵偶函數的定義域關于原點對稱，∴a—1+2a=0、∴a=13、

　　∴f（x）=13x2+bx+1+b、又∵f（x）是偶函數，∴b=0、

　　答案：13　0

　　3、已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+2）=—f（x），則f（6）的值為（　�。�

　　A、—1　　　B、0　　　C、1　　　D、2

　　解析：f（6）=f（4+2）=—f（4）=—f（2+2）=f（2）=f（2+0）=—f（0）、

　　又f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（0）=0、

　　∴f（6）=0、故選B、

　　答案：B

　　拓展提升

　　問題：基本初等函數的奇偶性、

　　探究：利用判斷函數的奇偶性的方法：定義法和圖象法，可得

　　正比例函數y=kx（k≠0）是奇函數；

　　反比例函數y=kx（k≠0）是奇函數；

　　一次函數y=kx+b（k≠0），當b=0時是奇函數，當b≠0時既不是奇函數也不是偶函數；

　　二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當b=0時是偶函數，當b≠0時既不是奇函數也不是偶函數、

　　課堂小結

　　本節主要學習了函數的奇偶性，判斷函數的奇偶性通常有兩種方法，即定義法和圖象法，用定義法判斷函數的奇偶性時，必須注意首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱、

　　作業

　　課本習題1、3A組　6，B組　3、

　　設計感想

　　單調性與奇偶性的綜合應用是本節的一個難點，而本節設計的題目不多，因此，在實際教學中，教師可以利用課余時間補充，讓學生結合函數的圖象充分理解好單調性和奇偶性這兩個性質、在教學設計中，注意培養學生的綜合應用能力，以便滿足高考要求、

　　備課資料

　　奇、偶函數的性質

　　（1）奇偶函數的定義域關于原點對稱；奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱、

　�。�2）奇偶性是函數的整體性質，對定義域內任意一個x都必須成立、

　　（3）f（—x）=f（x）f（x）是偶函數，f（—x）=—f（x）f（x）是奇函數、

　�。�4）f（—x）=f（x）f（x）—f（—x）=0，f（—x）=—f（x）f（x）+f（—x）=0、

　�。�5）兩個奇函數的和（差）仍是奇函數，兩個偶函數的和（差）仍是偶函數、

　　奇偶性相同的兩個函數的積（商、分母不為零）為偶函數，奇偶性相反的兩個函數的積（商、分母不為零）為奇函數；如果函數y=f（x）和y=g（x）的奇偶性相同，那么復合函數y=f[g（x）]是偶函數，如果函數y=f（x）和y=g（x）的奇偶性相反，那么復合函數y=f[g（x）]是奇函數，簡稱為“同偶異奇”、

　�。�6）如果函數y=f（x）是奇函數，那么f（x）在區間（a，b）和（—b，—a）上具有相同的單調性；如果函數y=f（x）是偶函數，那么f（x）在區間（a，b）和（—b，—a）上具有相反的單調性、

　�。�7）定義域關于原點對稱的任意函數f（x）可以表示成一個奇函數與一個偶函數的和，即f（x）=f（x）—f（—x）2+f（x）+f（—x）2、

　�。�8）若f（x）是（—a，a）（a>0）上的奇函數，則f（0）=0；

　　若函數f（x）是偶函數，則f（x）=f（—x）=f（|x|）=f（—|x|）、

　　若函數y=f（x）既是奇函數又是偶函數，則有f（x）=0、

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