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導數(shù)的概念教學設計（精選10篇）
作為一位杰出的老師，往往需要進行教學設計編寫工作，教學設計是連接基礎理論與實踐的橋梁，對于教學理論與實踐的緊密結合具有溝通作用。寫教學設計需要注意哪些格式呢？下面是小編幫大家整理的導數(shù)的概念教學設計，歡迎閱讀與收藏。
導數(shù)的概念教學設計 1
一、教材分析
導數(shù)的概念是高中新教材人教A版選修2-2第一章1.1.2的內(nèi)容，是在學生學習了物理的平均速度和瞬時速度的背景下，以及前節(jié)課所學的平均變化率基礎上，闡述了平均變化率和瞬時變化率的關系，從實例出發(fā)得到導數(shù)的概念，為以后更好地研究導數(shù)的幾何意義和導數(shù)的應用奠定基礎。
新教材在這個問題的處理上有很大變化，它與舊教材的區(qū)別是從平均變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導數(shù)。
問題1氣球平均膨脹率--→瞬時膨脹率
問題2高臺跳水的平均速度--→瞬時速度
根據(jù)上述教材結構與內(nèi)容分析，立足學生的認知水平，制定如下教學目標和重、難點
二、教學目標
1、知識與技能：
通過大量的實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)。
2、過程與方法：
�、偻ㄟ^動手計算培養(yǎng)學生觀察、分析、比較和歸納能力
②通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學思想方法
3、情感、態(tài)度與價值觀：
通過運動的觀點體會導數(shù)的內(nèi)涵，使學生掌握導數(shù)的概念不再困難，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.
三、重點、難點
重點：導數(shù)概念的形成，導數(shù)內(nèi)涵的理解
難點：在平均變化率的基礎上去探求瞬時變化率，深刻理解導數(shù)的內(nèi)涵
通過逼近的方法，引導學生觀察來突破難點
四、教學設想(具體如下表)
教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設計思路
創(chuàng)設情景
引入新課
幻燈片
回顧上節(jié)課留下的思考題：
在高臺跳水運動中，運動員相對水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考下面的問題：
(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎
(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎
首先回顧上節(jié)課留下的思考題：
在學生相互討論，交流結果的基礎上，提出：大家得到運動員在這段時間內(nèi)的平均速度為“0”，但我們知道運動員在這段時間內(nèi)并沒有“靜止”。為什么會產(chǎn)生這樣的情況呢
引起學生的好奇，意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內(nèi)的運動狀態(tài)，為了能更精確地刻畫物體運動，我們有必要研究某個時刻的速度即瞬時速度。
使學生帶著問題走進課堂，激發(fā)學生求知欲
初步探索、展示內(nèi)涵
根據(jù)學生的認知水平，概念的形成分了兩個層次：
結合跳水問題，明確瞬時速度的定義
問題一：請大家思考如何求運動員的瞬時速度，如t=2時刻的瞬時速度
提出問題一，組織學生討論，引導他們自然地想到選取一個具體時刻如t=2，研究它平均速度變化情況來尋找到問題的思路，使抽象問題具體化
理解導數(shù)的內(nèi)涵是本節(jié)課的教學重難點，通過層層設疑，把學生推向問題的中心，讓學生動手操作，直觀感受來突出重點、突破難點
問題二：請大家繼續(xù)思考，當Δt取不同值時，嘗試計算的值
Δt
Δt
-0.10.1
-0.010.01
-0.0010.001
-0.00010.0001
-0.000010.00001
……….….…….…
學生對概念的認知需要借助大量的直觀數(shù)據(jù)，所以我讓學生利用計算器，分組完成問題二，
幫助學生體會從平均速度出發(fā)，“以已知探求未知”的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生的動手操作能力
問題三：當Δt趨于0時，平均速度有怎樣的變化趨勢
Δt
Δt
-0.1-12.610.1-13.59
-0.01-13.0510.01-13.149
-0.001-13.09510.001-13.1049
-0.0001-130099510.0001-13.10049
-0.00001-13.0999510.00001-13.100049
……
一方面分組討論，上臺板演，展示計算結果，同時口答：在t=2時刻，Δt趨于0時，平均速度趨于一個確定的值-13.1，即瞬時速度，第一次體會逼近思想;另一方面借助動畫多渠道地引導學生觀察、分析、比較、歸納，第二次體會逼近思想，為了表述方便，數(shù)學中用簡潔的符號來表示，即數(shù)形結合，掃清了學生的思維障礙，更好地突破了教學的重難點，體驗數(shù)學的簡約美
問題四：運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示呢
引導學生繼續(xù)思考:運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示學生意識到將代替2，可類比得到
與舊教材相比，這里不提及極限概念，而是通過形象生動的逼近思想來定義時刻的瞬時速度，更符合學生的認知規(guī)律，提高了他們的思維能力，體現(xiàn)了特殊到一般的思維方法
借助其它實例，抽象導數(shù)的概念
問題五：氣球在體積時的瞬時膨脹率如何表示呢
類比之前學習的瞬時速度問題，引導學生得到瞬時膨脹率的表示
積極的師生互動能幫助學生看到知識點之間的聯(lián)系，有助于知識的重組和遷移，尋找不同實際背景下的數(shù)學共性，即對于不同實際問題，瞬時變化率富于不同的實際意義
問題六：如果將這兩個變化率問題中的函數(shù)用來表示，那么函數(shù)在處的瞬時變化率如何呢
在前面兩個問題的鋪墊下，進一步提出，我們這里研究的函數(shù)在處的瞬時變化率即在處的導數(shù)，記作
(也可記為)
引導學生舍棄具體問題的實際意義，抽象得到導數(shù)定義，由淺入深、由易到難、由特殊到一般，幫助學生完成了思維的飛躍;同時提及導數(shù)產(chǎn)生的時代背景，讓學生感受數(shù)學文化的熏陶，感受數(shù)學來源于生活，又服務于生活。
循序漸進、延伸
拓展例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第xh時候，原油溫度(單位：)為
(1)計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。
(2)計算第3h和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。
步驟：
①啟發(fā)學生根據(jù)導數(shù)定義，再分別求出和
②既然我們得到了第2h和第6h的原油溫度的瞬時變化率分別為-3與5，大家能說明它的含義嗎
③大家是否能用同樣方法來解決問題二
④師生共同歸納得到，導數(shù)即瞬時變化率，可反映物體變化的快慢
步步設問，引導學生深入探究導數(shù)內(nèi)涵
發(fā)展學生的應用意識，是高中數(shù)學課程標準所倡導的重要理念之一。在教學中以具體問題為載體，加深學生對導數(shù)內(nèi)涵的.理解，體驗數(shù)學在實際生活中的應用
變式練習：已知一個物體運動的位移(m)與時間t(s)滿足關系s(t)=-2t2+5t(1)求物體第5秒和第6秒的瞬時速度
(2)求物體在t時刻的瞬時速度
(3)求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動
學生獨立完成，上臺板演，第三次體會逼近思想
目的是讓學生學會用數(shù)學的眼光去看待物理模型，建立各學科之間的聯(lián)系，更深刻地把握事物變化的規(guī)律
歸納總結
內(nèi)化知識
1、瞬時速度的概念
2、導數(shù)的概念
3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、類比、從特殊到一般
引導學生進行討論，相互補充后進行回答，老師評析，并用幻燈片給出
讓學生自己小結，不僅僅總結知識更重要地是總結數(shù)學思想方法。這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程，是一個高層次的自我認識過程，這樣可幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，養(yǎng)成良好的學習習慣
作業(yè)安排、板書設計(必做)第10頁習題A組第2、3、4題
(選做)：思考第11頁習題B組第1題作業(yè)是學生信息的反饋，能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)和彌補教學中的不足，同時注重個體差異，因材施教
附后板書設計清楚整潔，便于突出知識目標
五、學法與教法
學法與教學用具
學法：
(1)合作學習：引導學生分組討論，合作交流，共同探討問題。(如問題2的處理)
(2)自主學習：引導學生通過親身經(jīng)歷，動口、動腦、動手參與數(shù)學活動。(如問題3的處理)
(3)探究學習：引導學生發(fā)揮主觀能動性，主動探索新知。(如例題的處理)
教學用具：電腦、多媒體、計算器
教法：整堂課圍繞“一切為了學生發(fā)展”的教學原則，突出：
①動——師生互動、共同探索。
�、趯А處熤笇�、循序漸進：
(1)新課引入——提出問題，激發(fā)學生的求知欲
(2)理解導數(shù)的內(nèi)涵——數(shù)形結合，動手計算，組織學生自主探索，獲得導數(shù)的定義
(3)例題處理——始終從問題出發(fā)，層層設疑，讓他們在探索中自得知識
(4)變式練習，深化對導數(shù)內(nèi)涵的理解，鞏固新知
六、評價分析
這堂課由平均速度到瞬時速度再到導數(shù)，展示了一個完整的數(shù)學探究過程。提出問題、計算觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、給出定義，讓學生經(jīng)歷了知識再發(fā)現(xiàn)的過程，促進了個性化學習。
從舊教材上看，導數(shù)概念學習的起點是極限，即從數(shù)列的極限，到函數(shù)的極限，再到導數(shù)。這種概念建立方式具有嚴密的邏輯性和系統(tǒng)性，但學生很難理解極限的形式化定義，因此也影響了對導數(shù)本質(zhì)的理解。
新教材不介紹極限的形式化定義及相關知識，而是用直觀形象的逼近方法定義導數(shù)。
通過列表計算、直觀地把握函數(shù)變化趨勢(蘊涵著極限的描述性定義)，學生容易理解;
這樣定義導數(shù)的優(yōu)點：
1、避免學生認知水平和知識學習間的矛盾;
2、將更多精力放在導數(shù)本質(zhì)的理解上;
3、學生對逼近思想有了豐富的直觀基礎和一定的理解，有利于在大學的初級階段學習嚴格的極限定義。
(附)板書設計
導數(shù)的概念教學設計 2
導數(shù)是近代數(shù)學中微積分的核心概念之一，是一種思想方法，這種思想方法是人類智慧的驕傲�！秾�(shù)的概念》這一節(jié)內(nèi)容，大致分成四個課時，我主要針對第三課時的教學，談談我的理解與設計，敬請各位專家斧正。
一、教材分析
1.1編者意圖《導數(shù)的概念》分成四個部分展開，即：“曲線的切線”，“瞬時速度”，“導數(shù)的概念”，“導數(shù)的幾何意義”，編者意圖在哪里呢？用前兩部分作為背景，是為了引出導數(shù)的概念；介紹導數(shù)的幾何意義，是為了加深對導數(shù)的理解。從而充分借助直觀來引出導數(shù)的概念；用極限思想抽象出導數(shù)；用函數(shù)思想拓展、完善導數(shù)以及在應用中鞏固、反思導數(shù)，教材的顯著特點是從具體經(jīng)驗出發(fā)，向抽象和普遍發(fā)展，使探究知識的過程簡單、經(jīng)濟、有效。
1.2導數(shù)概念在教材的地位和作用“導數(shù)的概念”是全章核心。不僅在于它自身具有非常嚴謹?shù)慕Y構，更重要的是，導數(shù)運算是一種高明的數(shù)學思維，用導數(shù)的運算去處理函數(shù)的性質(zhì)更具一般性，獲得更為理想的結果；把運算對象作用于導數(shù)上，可使我們擴展知識面，感悟變量，極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化中學數(shù)學中的不少問題；導數(shù)的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學科中同樣具有十分重要的作用；在物理學，經(jīng)濟學等其它學科和生產(chǎn)、生活的各個領域都有廣泛的應用。導數(shù)的出現(xiàn)推動了人類事業(yè)向前發(fā)展。
1.3教材的內(nèi)容剖析知識主體結構的比較和知識的遷移類比如下表：
表1、知識主體結構比較
通過比較發(fā)現(xiàn)：求切線的斜率和物體的瞬時速度，這兩個具體問題的解決都依賴于求函數(shù)的極限，一個是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限，一個是“位置改變量與時間改變量之比”的極限，如果舍去問題的具體含義，都可以歸結為一種相同形式的極限，即“平均變化率”的極限。因此以兩個背景作為新知的生長點，不僅使新知引入變得自然，而且為新知建構提供了有效的類比方法。
1.4重、難點剖析
重點：導數(shù)的概念的形成過程。
難點：對導數(shù)概念的`理解。
為什么這樣確定呢？導數(shù)概念的形成分為三個的層次：f（x）在點x0可導→f（x）在開區(qū)間（，b）內(nèi)可導→f（x）在開區(qū)間（，b）內(nèi)的導函數(shù)→導數(shù)，這三個層次是一個遞進的過程，而不是專指哪一個層次，也不是幾個層次的簡單相加，因此導數(shù)概念的形成過程是重點；教材中出現(xiàn)了兩個“導數(shù)”，“兩個可導”，初學者往往會有這樣的困惑，“導數(shù)到底是個什么東西？一個函數(shù)是不是有兩種導數(shù)呢？”，“導函數(shù)與導數(shù)是怎么統(tǒng)一的？”。事實上：
�。�1）f（x）在點x0處的導數(shù)是這一點x0到x0+△x的變化率的極限，是一個常數(shù)，區(qū)別于導函數(shù)。
�。�2）f（x）的導數(shù)是對開區(qū)間內(nèi)任意點x而言，是x到x+△x的變化率的極限，是f（x）在任意點的變化率，其中滲透了函數(shù)思想。
�。�3）導函數(shù)就是導數(shù)！是特殊的函數(shù)：先定義f（x）在x0處可導、再定義f（x）在開區(qū)間（，b）內(nèi)可導、最后定義f（x）在開區(qū)間的導函數(shù)。
（4）y=f（x）在x0處的導數(shù)就是導函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，表示為這也是求f′（x0）的一種方法。初學者最難理解導數(shù)的概念，是因為初學者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個關鍵詞的區(qū)別和聯(lián)系，會出現(xiàn)較大的分歧和差別，要突破難點，關鍵是找到“f（x）在點x0可導”、“f（x）在開區(qū)間的導函數(shù)”和“導數(shù)”之間的聯(lián)系，而要弄清這種聯(lián)系的最好方法就是類比！用“速度與導數(shù)”進行類比。
二、目的分析
2.1學生的認知特點。在知識方面，對函數(shù)的極限已經(jīng)熟悉，加上兩個具體背景的學習，新知教學有很好的基礎；在技能方面，高三學生，有很強的概括能力和抽象思維能力；在情感方面，求知的欲望強烈，喜歡探求真理，具有積極的情感態(tài)度。
2.2教學目標的擬定。鑒于這些特點，并結合教學大綱的要求以及對教材的分析，擬定如下的教學目標：
知識目標：
�、倮斫鈱�(shù)的概念。
�、谡莆沼枚x求導數(shù)的方法。
③領悟函數(shù)思想和無限逼近的極限思想。
能力目標：
�、倥囵B(yǎng)學生歸納、抽象和概括的能力。
②培養(yǎng)學生的數(shù)學符號表示和數(shù)學語言表達能力。
情感目標：通過導數(shù)概念的學習，使學生體驗和認同“有限和無限對立統(tǒng)一”的辯證觀點。接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學問題的積極態(tài)度。
三、過程分析
設計理念：遵循特殊到一般的認知規(guī)律，結合可接受性和可操作性原則，把教學目標的落實融入到教學過程之中，通過演繹導數(shù)的形成，發(fā)展和應用過程，幫助學生主動建構概念。
導數(shù)的概念教學設計 3
一、目標
知識與技能：了解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
過程與方法：多讓學生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；
情感、態(tài)度與價值觀：通過學生的參與，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。
二、重點難點
教學重點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過4次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
教學難點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過4次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
三、教學過程：
函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的。通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解。我們以導數(shù)為工具，對研究函數(shù)的增減及極值和最值帶來很大方便。
四、學情分析
我們的學生屬于平行分班，沒有實驗班，學生已有的知識和實驗水平有差距。需要教師指導并借助動畫給予直觀的認識。
五、教學方法
發(fā)現(xiàn)式、啟發(fā)式
新授課教學基本環(huán)節(jié)：預習檢查、總結疑惑→情境導入、展示目標→合作探究、精講點撥→反思總結、當堂檢測→發(fā)導學案、布置預習
六、課前準備
1.學生的學習準備：
2.教師的教學準備：多媒體課件制作，課前預習學案，課內(nèi)探究學案，課后延伸拓展學案。
七、課時安排：
1課時
八、教學過程
(一)預習檢查、總結疑惑
檢查落實了學生的預習情況并了解了學生的疑惑，使教學具有了針對性。
提問
1.判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法？
�。ㄒ龑W生回答“定義法”，“圖象法”。）
2.比如，要判斷y=x2的單調(diào)性，如
何進行？（引導學生回顧分別用定義法、圖象法完成。）
3.還有沒有其它方法？如果遇到函數(shù)：
y=x3－3x判斷單調(diào)性呢？（讓學生短時
間內(nèi)嘗試完成，結果發(fā)現(xiàn)：用“定義法”，
作差后判斷差的符號麻煩；用“圖象法”,圖象很難畫出來。）
4.有沒有捷徑？（學生疑惑,由此引出課題）這就要用到咱們今天要學的導數(shù)法。
以問題形式復習相關的舊知識，同時引出新問題：三次函數(shù)判斷單調(diào)性，定義法、圖象法很不方便，有沒有捷徑？通過創(chuàng)設問題情境，使學生產(chǎn)生強烈的問題意識，積極主動地參與到學習中來。
�。ǘ┣榫皩�、展示目標。
設計意圖：步步導入，吸引學生的注意力，明確學習目標。
�。ㄌ剿骱瘮�(shù)的單調(diào)性和導數(shù)的關系）問：函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)有何關系呢？
教師仍以y=x2為例，借助幾何畫板動態(tài)演示，讓學生記錄結果在課前發(fā)的表格第二行中：
函數(shù)及圖象單調(diào)性切線斜率k的正負導數(shù)的正負
問：有何發(fā)現(xiàn)？（學生回答）
問：這個結果是否具有一般性呢？
�。ㄈ┖献魈骄�、精講點撥。
我們來考察兩個一般性的例子：
�。ń處熤笇W生動手實驗：把準備的牙簽放在表中曲線y=f(x)的圖象上，作為曲線的切線，移動切線并記錄結果在上表第三、四行中。）
問：能否得出什么規(guī)律？
讓學生歸納總結，教師簡單板書：
在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，
若f(x)>0，則f(x)在(a，b)上是增函數(shù)；
若f(x)<0，則在f(x)(a，b)上是減函數(shù)。
教師說明：
要正確理解“某個區(qū)間”的含義，它必需是定義域內(nèi)的某個區(qū)間。
1.這一部分是后面利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的理論依據(jù)，重要性不言而喻，而學生又只學習了導數(shù)的意義和一些基本運算，要想得到嚴格的證明是不現(xiàn)實的，因此，只要求學生能借助幾何直觀得出結論，這與新課標中的要求是相吻合的。
2.教師對具體例子進行動態(tài)演示，學生對一般情況進行實驗驗證。由觀察、猜想到歸納、總結，讓學生體驗知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生過程，變灌注知識為學生主動獲取知識，從而使之成為課堂教學活動的主體。
3.得出結論后，教師強調(diào)正確理解“某個區(qū)間”的含義，它必需是定義域內(nèi)的某個區(qū)間。這一點將在例1的變式3具體體現(xiàn)。
4.考慮到本節(jié)課堂容量較大，這里沒有提到函數(shù)在個別點處導數(shù)為零不影響單調(diào)性的情況（如y=x3在x=0處），這一問題將在后續(xù)課程中給學生補充。
應用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例1.求函數(shù)y=x2－3x的單調(diào)區(qū)間。
�。ㄒ龑W生得出解題思路：求導→
令f(x)>0，得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，令f(x)<0，得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間→下結論）
變式1：求函數(shù)y=3x3－3x2的單調(diào)區(qū)間。
（競賽活動：將全班同學分成兩大組指定分別用單調(diào)性的定義，和用求導數(shù)的方法解答，每組各推薦一位同學的答案進行投影。）
求單調(diào)區(qū)間是導數(shù)的一個重要應用，也是本節(jié)重點，為此，設計了例1及三個變式：
設計例1可引導學生得出用導數(shù)法求單調(diào)區(qū)間的解題步驟
設計變式1及競賽活動可以激發(fā)學生的學習熱情，讓他們學會比較,并深刻體驗導數(shù)法的優(yōu)越性。
鞏固提高
變式2：求函數(shù)y=3ex－3x單調(diào)區(qū)間。
�。▽W生上黑板解答）
變式3：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
設計變式2且讓學生上黑板解答可以規(guī)范解題格式，同時使學生了解用導數(shù)法可以求更復雜的函數(shù)的`單調(diào)區(qū)間。
設計變式3是可使學生體會考慮定義域的必要性
例1及三個變式，依次涉及二次，三次函數(shù)，含指數(shù)的函數(shù)、反比例函數(shù)，這樣一題多變，逐步深化，從而讓學生領會：如何應用及哪類單調(diào)性問題該應用“導數(shù)法”解決。
多媒體展示探究思考題。
在學生分組實驗的過程中教師巡回觀察指導。(課堂實錄)，
�。ㄋ模┓此伎偨Y，當堂檢測。
教師組織學生反思總結本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進行當堂檢測。
設計意圖：引導學生構建知識網(wǎng)絡并對所學內(nèi)容進行簡單的反饋糾正。（課堂實錄）
�。ㄎ澹┌l(fā)導學案、布置預習。
設計意圖：布置下節(jié)課的預習作業(yè)，并對本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時批閱本節(jié)的延伸拓展訓練。
九、板書設計
例1.求函數(shù)y=3x2－3x的單調(diào)區(qū)間。
變式1：求函數(shù)y=3x3－3x2的單調(diào)區(qū)間。
變式2：求函數(shù)y=3ex－3x單調(diào)區(qū)間。
變式3：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
十、教學反思
本課的設計采用了課前下發(fā)預習學案，學生預習本節(jié)內(nèi)容，找出自己迷惑的地方。課堂上師生主要解決重點、難點、疑點、考點、探究點以及學生學習過程中易忘、易混點等，最后進行當堂檢測，課后進行延伸拓展，以達到提高課堂效率的目的。
在后面的教學過程中會繼續(xù)研究本節(jié)課，爭取設計的更科學，更有利于學生的學習，也希望大家提出寶貴意見，共同完善，共同進步!
導數(shù)的概念教學設計 4
教學內(nèi)容：
人教版9冊三角形面積公式推導部分
教學目的：
1、通過讓學生主動探索三角形面積計算公式，經(jīng)歷三角形面積公式的探索過程，進一步感受轉化的數(shù)學思想和方法。
2、使學生理解三角形面積計算公式，能正確地計算三角形的面積。
3、通過操作、觀察、比較，培養(yǎng)學生問題意識、概括能力和推理能力，發(fā)展學生的空間觀念。
教學過程：
一、閱讀質(zhì)疑。
先請同學們自己閱讀以下材料，然后以小組為單位交流一下你們都學會了哪些知識，可以提出什么問題，并把問題隨手記錄下來。
1厘米
學生閱讀后首先回顧了平行四邊形、長方形地面積公式及推導過程。然后學生提出了質(zhì)疑，主要問題有：
（1）數(shù)方格怎么求三角形的面積？
�。�2）不數(shù)方格怎么求三角形的面積？有沒有一個通用公式？
�。�3）能把三角形也轉化成我們學過的圖形求面積嗎？
（4）轉化成的這些圖形跟三角形有什么關系嗎？
（析：孔子曾說：“疑是思之始，學之端”。這里老師打破了學生等待老師提問的常規(guī)，要求學生把閱讀材料作為學習主題，通過閱讀提出問題，真正體現(xiàn)了“以生為本”。）
二、點撥激思
1.數(shù)方格的問題
學生根據(jù)學習材料可以解答用數(shù)方格的方法求三角形的面積。
老師接著問：有一個很大的三角形池塘，你來用數(shù)方格求它的面積。
學生小聲笑了起來。為什么笑？老師問到。學生說數(shù)方格太麻煩了，池塘也不好劃分方格。
嗯，看來數(shù)方格求面積是有一定局限性的，今天我們就來研究三角形的面積。
（析：一石激起千層浪，學生由數(shù)方格方法的局限性這一認識的困惑與沖突，有效地引發(fā)了學生探究面積計算公式的生長點，使學生有了探究發(fā)現(xiàn)的空間。）
2.轉化的問題
你想把三角形轉化成什么圖形？學生會轉化成平行四邊形、長方形、正方形。梯形行嗎？這時學生會有兩種答案，有的說行，有的說不行，為什么不行？老師追問，學生在討論中達成共識:必須轉化成學過的，可以計算面積的圖形。
師：三角形怎樣才能轉化成這些圖形？請同學們利用手中學具，通過拼一拼，折一折，剪一剪，利用轉化成這些圖形來解決下面的幾個問題。
（析：這里把“新”問題轉化成了“老”問題來解決，有效地把學法指導融入到了教學中，給學生創(chuàng)造了更廣闊、更真實的自主空間，無疑有利于學生可持續(xù)性發(fā)展。）
三、探索解疑
學生操作，討論，匯報。
1.轉化的圖形
學生的答案有很多種，把兩個完全一樣的三角形轉化成了平行四邊形、長方形和正方形，還有把一個三角形沿高剪下拼成了正方形、長方形，還有把一個三角形沿中位線對折，兩邊也折轉化成了2層的長方形。
2.解決轉化前后圖形間的關系
（1）大小的關系
通過比較學生們發(fā)現(xiàn)，兩個完全一樣的三角形拼成的圖形跟三角形關系是S=S÷2。一個三角形轉化成的圖形跟三角形關系是S=S
�。�2）底和高的關系
拼割前后各部分有什么關系？（指底和高）能推導出三角形的面積公式嗎？
生1：兩個完全一樣的銳角三角形轉化成了平行四邊形，三角形的高就是平行四邊形的高，三角形的底就是平行四邊形的底。因為平行四邊形的面積是底×高，它是由兩個三角形拼成的，所以三角形的面積是底×高÷2
師：思路真清晰，為什么÷2，誰還想說。
�。▽W生依次講拼成的長方形，正方形這兩種情況）
（3）公式推導
師；同學們真了不起，想出了這么多好方法推出了三角形的面積公式，那誰能給大家說說三角形的面積等于什么？
生：底×高÷2
師：如果我用S表示三角形的面積，a表示三角形的底，h表示三角形的高，那三角形的面積公式該怎么表示呢？
生：S=a×h÷2
�。�4）推導拓展
師：我們再來看第二組，你能通過一個三角形的轉化來推導它的`面積公式嗎？
學生1：我是把一個等腰三角形對折，然后從中間剪開拼成了一個長方形，這個長方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因為長方形的面積是長×寬，長方形的面積等于三角形的面積，所以三角形的面積是底×高÷2。
學生2：我是把一個直角三角形的上面對折下來，然后剪開，把它補在一邊，拼成了一個長方形。這個長方形的長是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面積是底×高÷2。
生3：我是把一個三角形沿著兩邊的重點對折，然后又把底邊的重點這樣對折，折成了一個長方形，這個長方形的底是三角形底的一半，寬是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面積是底×高÷2
師：這個方法怎樣，誰來評價一下。學生評價，太棒了。
生4：我還有一種辦法。把一個長方形沿對角線折疊，因為長方形的面積是長×寬，長方形是兩個三角形拼成的，所以，三角形的面積是底×高÷2
（析：把探究的權利充分的交給學生，學生自由組合，利用已有的知識經(jīng)驗，通過折、移、拼、剪，得到了不同的圖形，雖然是不同的角度、不同的手段、不同的方法，但達到了同一目的，得到了正確的三角形面積計算公式，更重要的是探究過程中學生的思維空間得到了拓展，思維個性得到了發(fā)揮。）
歸納小結
出示學習材料2，學生閱讀后談感想。體會祖國的古代科學家得了不起，2000多年前就推導出了這個公式。今天同學們通過自己的研究也推導出了三角形的面積計算公式，說明同學們也很聰明，相信將來你們還會有更多更大的發(fā)現(xiàn)，到那時你們的名字也將載如史冊，大家有信心嗎？
師：好，今天這節(jié)課我們研究了三角形的面積，你們學到了哪些知識，有什么收獲？回去繼續(xù)反思整理，寫出你們的反思報告。
�。ㄎ觯赫n堂總結不僅要關注學生學會了什么，更要關注用什么方法學，學后有什么感想，要有意識的促進學生反思：我還有什么疑問？打算怎么辦？，把課后反思納入到學習的系統(tǒng)連續(xù)的過程中。）
總析：本節(jié)課有以下兩個特點
1.充分體現(xiàn)了“問題意識的培養(yǎng)”。
老師用了一種新的教學流程進行教學。即以“提出問題”，“研究問題”，“解決問題”為主線。當一個問題得到解決后，新的問題接著出現(xiàn)，學生始終處于“憤”和“悱”及對問題的探究中，有效地調(diào)動學生的學習的興奮點，學生的問題意識得到發(fā)展。
2.重視研究問題的過程。
這節(jié)課以思維訓練代替了重復練習，以發(fā)展學生的創(chuàng)造思維為重點，引導學生用多種方法進行轉化，然后通過觀察、操作、比較、歸納、抽象概括推導出公式，沒有通過太多的練習卻獲得了超常規(guī)的解題能力。這個過程是學生自主探究的過程，這個過程是學生綜合能力培養(yǎng)和提高的過程。
導數(shù)的概念教學設計 5
一、考試要求：
�。�1）導數(shù)概念及其幾何意義
①了解導數(shù)概念的實際背景
�、诶斫鈱�(shù)的幾何意義。
�。�2）導數(shù)的運算
①能根據(jù)導數(shù)定義，求函數(shù)的導數(shù)。
�、谀芾孟旅娼o出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如的復合函數(shù)）的導數(shù)。
二、知識梳理：
1、如果當時，有極限，就說函數(shù)在點處可導，并把這個極限叫做在點處的導數(shù)（或變化率）。記作或，即。的幾何意義是曲線在點處的切線；瞬時速度就是位移函數(shù)對時間的'導數(shù)。
2、幾種常見函數(shù)的導數(shù)
�。�1）(其中為常數(shù))；（2）()；（3）；
（4）（5）（6）；
3、可導函數(shù)的四則運算的求導法則
（1）；（2）；（3）（）；
�。�4）的導數(shù)（其中）；
三、基礎檢測：
1、設是函數(shù)的導函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）
2、已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（）
A。1B。2C。3D。4
3、設函數(shù)是R上以5為周期的可導偶函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為（）A。B。0C。D。5
4、已知對任意實數(shù)，有，且時，則時（）A。B。
C。D。
5、若，則下列命題正確的是（）
�。�。Ｂ。Ｃ。Ｄ。
6、點是曲線上任意一點，則到直線的距離的最小值是；
7、若函數(shù)的圖像與直線只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是
8、若點在曲線上移動，則過點的切線的傾斜角取值范圍是
9、設函數(shù)（1）證明：的導數(shù)；
�。�2）若對所有都有，求的取值范圍。
10、已知在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),又(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在區(qū)間(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范圍.
導數(shù)的概念教學設計 6
一、教學目標：
了解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系.掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.
二、教學重點：
利用導數(shù)判斷一個函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.
教學難點：判斷復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及應用；利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性.
三、教學過程
（一）復習引入
1、增函數(shù)、減函數(shù)的定義
一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)。當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。
2、函數(shù)的單調(diào)性
如果函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y＝f(x)的`單調(diào)區(qū)間。
在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。
例1討論函數(shù)y＝x2－4x＋3的單調(diào)性。
解：取x1＜x2，x1、x2∈R，取值
f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3)作差
�。�(x1－x2)(x1＋x2－4)變形
當x1＜x2＜2時，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定號
∴y＝f(x)在(－∞,2)單調(diào)遞減。判斷
當2＜x1＜x2時，x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，
∴y＝f(x)在(2,＋∞)單調(diào)遞增。綜上所述y＝f(x)在(－∞,2)單調(diào)遞減，y＝f(x)在(2,＋∞)單調(diào)遞增。
能否利用導數(shù)的符號來判斷函數(shù)單調(diào)性？
導數(shù)的概念教學設計 7
一、教學目標
知識與技能：
掌握兩個函數(shù)的和、差、積、商的求導法則，熟練運用導數(shù)的運算法則求某些簡單函數(shù)的導數(shù)。
過程與方法：
通過對導數(shù)的運算法則的探究過程，加深對求導法則的理解，增強有條理的思考。
情感、態(tài)度與價值觀：
在探究過程中，提高學習興趣，激發(fā)求知欲。
二、教學重難點
教學重點：
函數(shù)的`和、差、積、商的求導法則。
教學難點：
對積和商求導法則的理解和運用。
三、教學過程
�。ㄒ唬⿲胄抡n
復習基本求導公式，并回顧導數(shù)的定義。
提問：如何求解兩個函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)，引入課題。
�。ǘ┨骄啃轮�
探究一：函數(shù)的和、差的導數(shù)
四、板書設計
導數(shù)的概念教學設計 8
教學目標：
1、理解并掌握曲線在某一點處的切線的概念；
2、理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法；
3、理解切線概念實際背景，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力和培養(yǎng)學生轉化
問題的能力及數(shù)形結合思想。
教學重點：
理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法。
教學難點：
用“無限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一點處切線的斜率。
教學過程：
一、問題情境
1、問題情境。
如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？
如果將點P附近的曲線放大，那么就會發(fā)現(xiàn)，曲線在點P附近看上去有點像是直線。
如果將點P附近的曲線再放大，那么就會發(fā)現(xiàn)，曲線在點P附近看上去幾乎成了直線。事實上，如果繼續(xù)放大，那么曲線在點P附近將逼近一條確定的直線，該直線是經(jīng)過點P的所有直線中最逼近曲線的一條直線。
因此，在點P附近我們可以用這條直線來代替曲線，也就是說，點P附近，曲線可以看出直線（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲）。
2、探究活動。
如圖所示，直線l1，l2為經(jīng)過曲線上一點P的兩條直線，
�。�1）試判斷哪一條直線在點P附近更加逼近曲線；
�。�2）在點P附近能作出一條比l1，l2更加逼近曲線的`直線l3嗎？
�。�3）在點P附近能作出一條比l1，l2，l3更加逼近曲線的直線嗎？
二、建構數(shù)學
切線定義：如圖，設Q為曲線C上不同于P的一點，直線PQ稱為曲線的割線。隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近逼近曲線C，當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為經(jīng)過點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點P處的切線。這種方法叫割線逼近切線。
思考：如上圖，P為已知曲線C上的一點，如何求出點P處的切線方程？
三、數(shù)學運用
例1試求在點（2，4）處的切線斜率。
解法一分析：設P（2，4），Q（xQ，f（xQ）），
則割線PQ的斜率為：
當Q沿曲線逼近點P時，割線PQ逼近點P處的切線，從而割線斜率逼近切線斜率；
當Q點橫坐標無限趨近于P點橫坐標時，即xQ無限趨近于2時，kPQ無限趨近于常數(shù)4。
從而曲線f（x）＝x2在點（2，4）處的切線斜率為4。
解法二設P（2，4），Q（xQ，xQ2），則割線PQ的斜率為：
當？x無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數(shù)4，從而曲線f（x）＝x2，在點（2，4）處的切線斜率為4。
練習試求在x＝1處的切線斜率。
解：設P（1，2），Q（1＋Δx，（1＋Δx）2＋1），則割線PQ的斜率為：
當？x無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數(shù)2，從而曲線f（x）＝x2＋1在x＝1處的切線斜率為2。
小結求曲線上一點處的切線斜率的一般步驟：
�。�1）找到定點P的坐標，設出動點Q的坐標；
�。�2）求出割線PQ的斜率；
�。�3）當時，割線逼近切線，那么割線斜率逼近切線斜率。
思考如上圖，P為已知曲線C上的一點，如何求出點P處的切線方程？
解設
所以，當無限趨近于0時，無限趨近于點處的切線的斜率。
變式訓練
1。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程；
2。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程；
3。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。
課堂練習
已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。
四、回顧小結
1、曲線上一點P處的切線是過點P的所有直線中最接近P點附近曲線的直線，則P點處的變化趨勢可以由該點處的切線反映（局部以直代曲）。
2、根據(jù)定義，利用割線逼近切線的方法，可以求出曲線在一點處的切線斜率和方程。
五、課外作業(yè)
導數(shù)的概念教學設計 9
【學習要求】
1.能根據(jù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x2，y=1x的導數(shù).
2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求簡單函數(shù)的導數(shù).
【學法指導】
1.利用導數(shù)的定義推導簡單函數(shù)的導數(shù)公式，類推一般多項式函數(shù)的導數(shù)公式，體會由特殊到一般的思想.通過定義求導數(shù)的過程，培養(yǎng)歸納、探求規(guī)律的能力，提高學習興趣.
2.本節(jié)公式是下面幾節(jié)課的'基礎，記準公式是學好本章內(nèi)容的關鍵.記公式時，要注意觀察公式之間的聯(lián)系，如公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例.公式5與公式7中l(wèi)na的位置的不同等.
1.幾個常用函數(shù)的導數(shù)
原函數(shù)導函數(shù)
f(x)=cf′(x)=
f(x)=xf′(x)=
f(x)=x2f′(x)=
f(x)=1x
f′(x)=
f(x)=x
f′(x)=
2.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
原函數(shù)導函數(shù)
f(x)=cf′(x)=
f(x)=xα(α∈Q*)f′(x)=
f(x)=sinxf′(x)=
f(x)=cosxf′(x)=
f(x)=axf′(x)=(a>0)
f(x)=exf′(x)=
f(x)=logax
f′(x)=(a>0且a≠1)
f(x)=lnxf′(x)=
探究點一幾個常用函數(shù)的導數(shù)
問題1怎樣利用定義求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)?
問題2利用定義求下列常用函數(shù)的導數(shù)：(1)y=c(2)y=x(3)y=x2(4)y=1x(5)y=x
問題3導數(shù)的幾何意義是曲線在某點處的切線的斜率.物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度.(1)函數(shù)y=f(x)=c(常數(shù))的導數(shù)的物理意義是什么?
(2)函數(shù)y=f(x)=x的導數(shù)的物理意義呢?
問題4畫出函數(shù)y=1x的圖象.根據(jù)圖象，描述它的變化情況，并求出曲線在點(1,1)處的切線方程.
探究點二基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
問題1利用導數(shù)的定義可以求函數(shù)的導函數(shù)，但運算比較繁雜，有些函數(shù)式子在中學階段無法變形，怎樣解決這個問題?
問題2你能發(fā)現(xiàn)8個基本初等函數(shù)的導數(shù)公式之間的聯(lián)系嗎?
例1求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y=sinπ3;(2)y=5x;(3)y=1x3;(4)y=4x3;(5)y=log3x.
跟蹤1求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y=x8;(2)y=(12)x;(3)y=xx;(4)y=
例2判斷下列計算是否正確.
求y=cosx在x=π3處的導數(shù)，過程如下：y′|=′=-sinπ3=-32.
跟蹤2求函數(shù)f(x)=13x在x=1處的導數(shù).
探究點三導數(shù)公式的綜合應用
例3已知直線x-2y-4=0與拋物線y2=x相交于A、B兩點，O是坐標原點，試在拋物線的弧上求一點P，使△ABP的面積最大.
跟蹤3點P是曲線y=ex上任意一點，求點P到直線y=x的最小距離.
【達標檢測】
1.給出下列結論：①若y=1x3，則y′=-3x4;②若y=3x，則y′=133x;
�、廴魕=1x2，則y′=-2x-3;④若f(x)=3x，則f′(1)=3.其中正確的個數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
2.函數(shù)f(x)=x，則f′(3)等于()
A.36B.0C.12xD.32
3.設正弦曲線y=sinx上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是()
A.[0，π4]∪[3π4，π)B.[0，π)C.[π4，3π4]D.[0，π4]∪[π2，3π4]
4.曲線y=ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為________.
導數(shù)的概念教學設計 10
教學準備
1.教學目標
(1)理解平均變化率的概念.
(2)了解瞬時速度、瞬時變化率、的概念.
(3)理解導數(shù)的概念
(4)會求函數(shù)在某點的導數(shù)或瞬時變化率.
2.教學重點/難點
教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念及導數(shù)概念的形成和理解
教學難點：會求簡單函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)
3.教學用具
多媒體、板書
4.標簽
教學過程
一、創(chuàng)設情景、引入課題
【師】十七世紀，在歐洲資本主義發(fā)展初期，由于工場的手工業(yè)向機器生產(chǎn)過渡，提高了生產(chǎn)力，促進了科學技術的快速發(fā)展，其中突出的成就就是數(shù)學研究中取得了豐碩的成果―――微積分的產(chǎn)生。
【板演/PPT】
【師】人們發(fā)現(xiàn)在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t(單位：秒)存在函數(shù)關系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)?
【板演/PPT】
讓學生自由發(fā)言，教師不急于下結論，而是繼續(xù)引導學生：欲知結論怎樣，讓我們一起來觀察、研探。
【設計意圖】自然進入課題內(nèi)容。
二、新知探究
[1]變化率問題
【合作探究】
探究1氣球膨脹率
【師】很多人都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?
氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關系是
如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么
【板演/PPT】
【活動】
【分析】
當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為(1)當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為
0.62>0.16
可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.
【思考】當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?
解析：
探究2高臺跳水
【師】在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t(單位：秒)存在函數(shù)關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)?
(請計算)
【板演/PPT】
【生】學生舉手回答
【活動】學生覺得問題有價值，具有挑戰(zhàn)性，迫切想知道解決問題的方法。
【師】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10
【設計意圖】兩個問題由易到難，讓學生一步一個臺階。為引入變化率的概念以及加深對變化率概念的理解服務。
探究3計算運動員在
這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:
(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?
(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎?
【板演/PPT】
【生】學生舉手回答
【師】在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態(tài).
【活動】師生共同歸納出結論
平均變化率:
上述兩個問題中的函數(shù)關系用y=f(x)表示，那么問題中的變化率可用式子
我們把這個式子稱為函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率.
習慣上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)
這里Δx看作是對于x1的一個“增量”可用x1+Δx代替x2
同樣Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均變化率可以表示為：
【幾何意義】觀察函數(shù)f(x)的圖象，平均變化率的幾何意義是什么?
探究2當Δt趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢?
從2s到(2+△t)s這段時間內(nèi)平均速度
當△t趨近于0時,即無論t從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨近于2時,平均速度都趨近與一個確定的值–13.1.
從物理的角度看,時間間隔|△t|無限變小時,平均速度就無限趨近于t=2時的瞬時速度.因此,運動員在t=2時的瞬時速度是–13.1m/s.
為了表述方便，我們用xx表示“當t=2,△t趨近于0時,平均速度趨近于確定值–13.1”.
【瞬時速度】
我們用
表示“當t=2,Δt趨近于0時,平均速度趨于確定值-13.1”。
局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。那么,運動員在某一時刻的'瞬時速度?
【設計意圖】讓學生體會由平均速度到瞬時速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t=2秒時的瞬時速度。
探究3:
(1).運動員在某一時刻t0的瞬時速度怎樣表示?
(2).函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時變化率怎樣表示?
導數(shù)的概念:
一般地，函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是
稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù),記作或,
【總結提升】
由導數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)的一般方法:
[3]例題講解
例題1將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對原油進行冷卻和加熱.如果第xh時,原油的溫度(單位:)為y=f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).計算第2h與第6h時,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.
解:在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率就是
在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率分別為–3和5.它說明在第2h附近,原油溫度大約以3/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5/h的速率上升.
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