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      最新奧數(shù)試題解析

      時間:2022-09-24 13:00:56 試題 我要投稿
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      2018最新奧數(shù)試題解析

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      2018最新奧數(shù)試題解析

        S的末四位數(shù)字的和是多少?

        一個人以3千米/小時的速度上坡,以6千米/小時的速度下坡,行程12千米共用了3小時20分鐘,試求上坡與下坡的路程.

        求和

        證明:質(zhì)數(shù)p除以30所得的余數(shù)一定不是合數(shù).

        若兩個整數(shù)x,y使x2+xy+y2能被9整除,證明:x和y能被3整除.

        如圖1-95所示.在四邊形ABCD中,對角線AC,BD的中點為M,N,MN的延長線與AB邊交于P點.求證:△PCD的面積等于四邊形ABCD的面積的一半.

        答案解析:

        所以 x=5000(元).

        所以S的末四位數(shù)字的和為1+9+9+5=24.

        因為

        時,a-b0,即ab.即當b0或b0時,等式成立.4.設(shè)上坡路程為x千米,下坡路程為y千米.依題意則

        有

        由②有2x+y=20, ③

        由①有y=12-x.將之代入③得

        2x+12-x=20.

        所以x=8(千米),于是y=4(千米).

        5.第n項為

        所以設(shè)p=30q+r,030.因為p為質(zhì)數(shù),故r0,即0

        由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq,即

        (4-m)pq+1=2(p+q).

        可知m4.由①,m0,且為整數(shù),所以m=1,2,3.下面分別研究p,q.

        (1)若m=1時,有

        解得p=1,q=1,與已知不符,舍去.

        (2)若m=2時,有

        因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的,故m=2時無解.

        (3)若m=3時,有

        解之得

        故 p+q=8.

        8.因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy.由題設(shè),9|(x2+xy+y2),所以3|(x2+xy+y2),從而3|(x-y)2.因為3是質(zhì)數(shù),故3|(x-y).進而9|(x-y)2.由上式又可知,9|3xy,故3|xy.所以3|x或3|y.若3|x,結(jié)合3(x-y),便得3|y;若3|y,同理可得,3|x.

        9.連結(jié)AN,CN,如圖1-103所示.因為N是BD的中點,所以上述兩式相加

        另一方面,S△PCD=S△CND+S△CNP+S△DNP.

        因此只需證明

        S△AND=S△CNP+S△DNP.

        由于M,N分別為AC,BD的中點,所以

        S△CNP=S△CPM-S△CMN

        =S△APM-S△AMN

        =S△ANP.

        又S△DNP=S△BNP,所以

        S△CNP+S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND.

        奧數(shù)試題解析

        甲多開支100元,三年后負

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        一個人以3千米/小時的速度上坡,以6千米/小時的速度下坡,行程12千米共用了3小時20分鐘,試求上坡與下坡的路程.

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        若兩個整數(shù)x,y使x2+xy+y2能被9整除,證明:x和y能被3整除.

        如圖1-95所示.在四邊形ABCD中,對角線AC,BD的中點為M,N,MN的延長線與AB邊交于P點.求證:△PCD的面積等于四邊形ABCD的面積的一半.

        答案解析:

        所以 x=5000(元).

        所以S的末四位數(shù)字的和為1+9+9+5=24.

        因為

        時,a-b0,即ab.即當b0或b0時,等式成立.4.設(shè)上坡路程為x千米,下坡路程為y千米.依題意則

        有

        由②有2x+y=20, ③

        由①有y=12-x.將之代入③得

        2x+12-x=20.

        所以x=8(千米),于是y=4(千米).

        5.第n項為

        所以

        設(shè)p=30q+r,030.因為p為質(zhì)數(shù),故r0,即0

        由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq,即

        (4-m)pq+1=2(p+q).

        可知m4.由①,m0,且為整數(shù),所以m=1,2,3.下面分別研究p,q.

        (1)若m=1時,有

        解得p=1,q=1,與已知不符,舍去.

        (2)若m=2時,有

        因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的,故m=2時無解.

        (3)若m=3時,有

        解之得

        故 p+q=8.

        8.因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy.由題設(shè),9|(x2+xy+y2),所以3|(x2+xy+y2),從而3|(x-y)2.因為3是質(zhì)數(shù),故3|(x-y).進而9|(x-y)2.由上式又可知,9|3xy,故3|xy.所以3|x或3|y.若3|x,結(jié)合3(x-y),便得3|y;若3|y,同理可得,3|x.

        9.連結(jié)AN,CN,如圖1-103所示.因為N是BD的中點,所以上述兩式相加

        另一方面,S△PCD=S△CND+S△CNP+S△DNP.

        因此只需證明

        S△AND=S△CNP+S△DNP.

        由于M,N分別為AC,BD的中點,所以

        S△CNP=S△CPM-S△CMN

        =S△APM-S△AMN

        =S△ANP.

        又S△DNP=S△BNP,所以

        S△CNP+S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND.


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