高考文科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題
一、選擇題
1．函數(shù)f(x)＝12x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為 ( )．
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析 由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，又由f′(x)＝x－1x≤0，解得0<x≤1，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]．
答案 B
2．(2014全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝ ( )．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 令f(x)＝ax－ln(x＋1)，則f′(x)＝a－1x＋1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)(0,0)處的切線的斜率為f′(0)＝a－1.又切線方程為y＝2x，則有a－1＝2，∴a＝3.
答案 D
3．已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則不等式xf′(x)<0的解集為( )．
A.－∞，12∪12，2
B.－∞，0∪12，2
C.－∞，12∪12，＋∞
D.－∞，12∪2，＋∞
解析 xf′(x)<0x>0，f′x<0或x<0f′x>0.
當(dāng)x∈12，2時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，此時(shí)f′(x)<0.
當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，此時(shí)f′(x)>0.故選B.
答案 B
4．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)都在區(qū)間(－1,1)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )．
A．(0,2] B．(0,2)
C．[3，2) D．(3，2)
解析 由題意可知f′(x)＝0的兩個(gè)不同解都在區(qū)間(－1，1)內(nèi)．因?yàn)閒′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可得Δ＝2a2－4×3×1>0，－1<－2a6<1，f′－1＝3－2a＋1>0，f′1＝3＋2a＋1>0，又a>0，解得3<a<2，故選D.
答案 D
5．(2013浙江卷)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則 ( )．
A．當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值
B．當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值
C．當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值
D．當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值
解析 當(dāng)k＝1時(shí)，f′(x)＝exx－1，f′(1)≠0，
∴f(1)不是極值，故A，B錯(cuò)；
當(dāng)k＝2時(shí)，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
顯然f′(1)＝0，且x在1的左側(cè)附近f′(x)<0，
x在1的右側(cè)附近f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1處取得極小值．故選C.
答案 C
6．(2014濰坊模擬)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝30.3f(30.3)，b＝logπ3f(logπ3)，c＝log319flog319，則a，b，c間的大小關(guān)系是 ( )．
A．a(chǎn)>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a(chǎn)>c>b
解析 設(shè)g(x)＝xf(x)，則g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0(x<0)，∴當(dāng)x<0時(shí)，g(x)＝xf(x)為減函數(shù)．
又g(x)為偶函數(shù)，∴當(dāng)x>0時(shí)，g(x)為增函數(shù)．
∵1<30.3<2,0<logπ3<1，log319＝－2，
又g(－2)＝g(x)，∴g(－2)>g(30.3)>g(logπ3)，
即c>a>b.
答案 C
二、填空題
7．(2013江西卷)設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________.
解析 設(shè)ex＝t，則x＝ln t(t>0)，
∴f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，
∴f′(x)＝1x＋1，
∴f′(1)＝2.
答案 2
8．(2014江西卷)若曲線y＝e－x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x＋y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．
解析 設(shè)P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
∴點(diǎn)P處的切線斜率為k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，
∴y0＝eln 2＝2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－ln 2,2)．
答案 (－ln 2,2)
9．(2014鹽城調(diào)研)若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值為_(kāi)_______．
解析 依題意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，
∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.
又a>0，b>0，∴ab≤a＋b22＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)，∴ab的最大值為9.
答案 9
10．已知函數(shù)f(x)＝aln x＋x在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析 ∵f(x)＝aln x＋x.∴f′(x)＝ax＋1.
又∵f(x)在[2,3]上單調(diào)遞增，∴ax＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．
答案 [－2，＋∞)
11．(2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)若函數(shù)f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的圖象關(guān)于直線x＝－2對(duì)稱，則f(x)的最大值是________．
解析 由題意知f0＝f－4，f－1＝f－3，
即b＝－15×16－4a＋b，0＝9－3a＋b，解得a＝8，b＝15，
所以f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)，
則f′(x)＝－4(x＋2)(x2＋4x－1)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝－2－5或x＝－2＋5，
當(dāng)x<－2－5時(shí)，f′(x)>0；
當(dāng)－2－5<x<－2時(shí)，f′(x)<0；
－2<x<－2＋5時(shí)，f′(x)<0；
當(dāng)x>－2＋5時(shí)，f′(x)<0，
所以當(dāng)x＝－2－5時(shí)，f(x)極大值＝16；
當(dāng)x＝－2＋5時(shí)，f(x)極大值＝16，所以函數(shù)f(x)的最大值為16.
答案 16
三、解答題
12．已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍．
解 (1)∵f(x)＝ex－ax－1(x∈R)，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a.當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0在R上恒成立；當(dāng)a>0時(shí)，有x≥ln a.
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(ln a，＋∞)．
(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上單調(diào)遞增，
∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex在R上恒成立．
∵x∈R時(shí)，ex>0，∴a≤0，
即a的取值范圍是(－∞，0]．
13．(2014西安五校二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝12ax2－(2a＋1)x＋2ln x，a∈R.
(1)若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的'切線互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．
解 f′(x)＝ax－(2a＋1)＋2x(x>0)．
(1)由題意得f′(1)＝f′(3)，解得a＝23.
(2)f′(x)＝ax－1x－2x(x>0)．
①當(dāng)a≤0時(shí)，x>0，ax－1<0.在區(qū)間(0,2)上，f′(x)>0；在區(qū)間(2，＋∞)上，f′(x)<0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，＋∞)．
②當(dāng)0<a<12時(shí)，1a>2.在區(qū)間(0,2)和1a，＋∞上，f′(x)>0；在區(qū)間2，1a上，f′(x)<0.
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和1a，＋∞，單調(diào)遞減區(qū)間是2，1a.
③當(dāng)a＝12時(shí)，f′(x)＝x－222x≥0，
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)．
④當(dāng)a>12時(shí)，0<1a<2，在區(qū)間0，1a和(2，＋∞)上，f′(x)>0；在區(qū)間1a，2上，f′(x)<0.
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是0，1a和(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是1a，2.
14．(2014江西卷)已知函數(shù)f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)x，其中a<0.
(1)當(dāng)a＝－4時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若f(x)在區(qū)間[1,4]上的最小值為8，求a的值．
解 (1)當(dāng)a＝－4時(shí)，由f′(x)＝25x－2x－2x＝0得x＝25或x＝2.由f′(x)>0得x∈0，25或x∈(2，＋∞)，
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，25和(2，＋∞)，
(2)因?yàn)閒′(x)＝10x＋a2x＋a2x，a<0，
由f′(x)＝0得x＝－a10或x＝－a2.
當(dāng)x∈0，－a10時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈－a10，－a2時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈－a2，＋∞時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，易知f(x)＝(2x＋a)2x≥0，且f－a2＝0.
①當(dāng)－a2≤1，即－2≤a<0時(shí)，f(x)在[1,4]上的最小值為f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±22－2，均不符合題意．
②當(dāng)1<－a2≤4，即－8≤a<－2時(shí)，f(x)在[1,4]上的最小值為f－a2＝0，不符合題意．
③當(dāng)－a2>4，即a<－8時(shí)，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4上取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，當(dāng)a＝－10時(shí)，f(x)在(1,4)上單調(diào)遞減，f(x)在[1,4]上的最小值為f(4)＝8，符合題意．
綜上有a＝－10.
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