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      導數練習題及答案

      時間:2021-06-12 18:20:39 試題 我要投稿

      導數練習題及答案

        導數是微積分的初步知識,是研究函數,解決實際問題的有力工具。以下是導數練習題及答案,歡迎閱讀。

        一、選擇題

        1.函數在某一點的導數是(  )

        A.在該點的函數值的增量與自變量的增量的比

        B.一個函數

        C.一個常數,不是變數

        D.函數在這一點到它附近一點之間的平均變化率

        [答案] C

        [解析] 由定義,f′(x0)是當Δx無限趨近于0時,ΔyΔx無限趨近的常數,故應選C.

        2.如果質點A按照規律s=3t2運動,則在t0=3時的瞬時速度為(  )

        A.6        B.18

        C.54        D.81

        [答案] B

        [解析] ∵s(t)=3t2,t0=3,

        ∴Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-332

        =18Δt+3(Δt)2∴ΔsΔt=18+3Δt.

        當Δt→0時,ΔsΔt→18,故應選B.

        3.y=x2在x=1處的導數為(  )

        A.2x           B.2

        C.2+Δx       D.1

        [答案] B

        [解析] ∵f(x)=x2,x=1,

        ∴Δy=f(1+Δx)2-f(1)=(1+Δx)2-1=2Δx+(Δx)2

        ∴ΔyΔx=2+Δx

        當Δx→0時,ΔyΔx→2

        ∴f′(1)=2,故應選B.

        4.一質點做直線運動,若它所經過的路程與時間的關系為s(t)=4t2-3(s(t)的單位:m,t的單位:s),則t=5時的`瞬時速度為(  )

        A.37        B.38

        C.39        D.40

        [答案] D

        [解析] ∵ΔsΔt=4(5+Δt)2-3-4×52+3Δt=40+4Δt,

        ∴s′(5)=limΔt→0 ΔsΔt=limΔt→0 (40+4Δt)=40.故應選D.

        5.已知函數y=f(x),那么下列說法錯誤的是(  )

        A.Δy=f(x0+Δx)-f(x0)叫做函數值的增量

        B.ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx叫做函數在x0到x0+Δx之間的平均變化率

        C.f(x)在x0處的導數記為y′

        D.f(x)在x0處的導數記為f′(x0)

        [答案] C

        [解析] 由導數的定義可知C錯誤.故應選C.

        6.函數f(x)在x=x0處的導數可表示為y′|x=x0,即(  )

        A.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)

        B.f′(x0)=limΔx→0[f(x0+Δx)-f(x0)]

        C.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)Δx

        D.f′(x0)=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx

        [答案] D

        [解析] 由導數的定義知D正確.故應選D.

        7.函數y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c為常數)在x=2時的瞬時變化率等于(  )

        A.4a        B.2a+b

        C.b        D.4a+b

        [答案] D

        [解析] ∵ΔyΔx=a(2+Δx)2+b(2+Δx)+c-4a-2b-cΔx

        =4a+b+aΔx,

        ∴y′|x=2=limΔx→0 ΔyΔx=limΔx→0 (4a+b+aΔx)=4a+b.故應選D.

        8.如果一個函數的瞬時變化率處處為0,則這個函數的圖象是(  )

        A.圓        B.拋物線

        C.橢圓       D.直線

        [答案] D

        [解析] 當f(x)=b時,f′(x)=0,所以f(x)的圖象為一條直線,故應選D.

        9.一物體作直線運動,其位移s與時間t的關系是s=3t-t2,則物體的初速度為(  )

        A.0        B.3

        C.-2       D.3-2t

        [答案] B

        [解析] ∵ΔsΔt=3(0+Δt)-(0+Δt)2Δt=3-Δt,

        ∴s′(0)=limΔt→0 ΔsΔt=3.故應選B.

        10.設f(x)=1x,則limx→a f(x)-f(a)x-a等于(  )

        A.-1a       B.2a

        C.-1a2       D.1a2

        [答案] C

        [解析] limx→a f(x)-f(a)x-a=limx→a 1x-1ax-a

        =limx→a a-x(x-a)xa=-limx→a 1ax=-1a2.

        二、填空題

        11.已知函數y=f(x)在x=x0處的導數為11,則

        limΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=________;

        limx→x0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=________.

        [答案] -11,-112

        [解析] limΔx→0 f(x0-Δx)-f(x0)Δx

        =-limΔx→0 f(x0-Δx)-f(x0)-Δx=-f′(x0)=-11;

        limx→x0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=-12limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx

        =-12f′(x0)=-112.

        12.函數y=x+1x在x=1處的導數是________.

        [答案] 0

        [解析] ∵Δy=1+Δx+11+Δx-1+11

        =Δx-1+1Δx+1=(Δx)2Δx+1,

        ∴ΔyΔx=ΔxΔx+1.∴y′|x=1=limΔx→0 ΔxΔx+1=0.

        13.已知函數f(x)=ax+4,若f′(2)=2,則a等于______.

        [答案] 2

        [解析] ∵ΔyΔx=a(2+Δx)+4-2a-4Δx=a,

        ∴f′(1)=limΔx→0 ΔyΔx=a.∴a=2.

        14.已知f′(x0)=limx→x0 f(x)-f(x0)x-x0,f(3)=2,f′(3)=-2,則limx→3 2x-3f(x)x-3的值是________.

        [答案] 8

        [解析] limx→3 2x-3f(x)x-3=limx→3 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3)x-3

        =limx→3 2x-3f(3)x-3+limx→3 3(f(3)-f(x))x-3.

        由于f(3)=2,上式可化為

        limx→3 2(x-3)x-3-3limx→3 f(x)-f(3)x-3=2-3×(-2)=8.

        三、解答題

        15.設f(x)=x2,求f′(x0),f′(-1),f′(2).

        [解析] 由導數定義有f′(x0)

        =limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx

        =limΔx→0 (x0+Δx)2-x20Δx=limΔx→0 Δx(2x0+Δx)Δx=2x0,

        16.槍彈在槍筒中運動可以看做勻加速運動,如果它的加速度是5.0×105m/s2,槍彈從槍口射出時所用時間為1.6×10-3s,求槍彈射出槍口時的瞬時速度.

        [解析] 位移公式為s=12at2

        ∵Δs=12a(t0+Δt)2-12at20=at0Δt+12a(Δt)2

        ∴ΔsΔt=at0+12aΔt,

        ∴limΔt→0 ΔsΔt=limΔt→0 at0+12aΔt=at0,

        已知a=5.0×105m/s2,t0=1.6×10-3s,

        ∴at0=800m/s.

        所以槍彈射出槍口時的瞬時速度為800m/s.

        17.在曲線y=f(x)=x2+3的圖象上取一點P(1,4)及附近一點(1+Δx,4+Δy),求(1)ΔyΔx (2)f′(1).

        [解析] (1)ΔyΔx=f(1+Δx)-f(1)Δx

        =(1+Δx)2+3-12-3Δx=2+Δx.

        (2)f′(1)=limΔx→0 f(1+Δx)-f(1)Δx

        =limΔx→0 (2+Δx)=2.

        18.函數f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處是否有導數?若有,求出來,若沒有,說明理由.

        [解析] f(x)=x+x2  (x≥0)-x-x2 (x<0)

        Δy=f(0+Δx)-f(0)=f(Δx)

        =Δx+(Δx)2  (Δx>0)-Δx-(Δx)2 (Δx<0)

        ∴limx→0+ ΔyΔx=limΔx→0+ (1+Δx)=1,

        limΔx→0- ΔyΔx=limΔx→0- (-1-Δx)=-1,

        ∵limΔx→0- ΔyΔx≠limΔx→0+ ΔyΔx,∴Δx→0時,ΔyΔx無極限.

        ∴函數f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處沒有導數,即不可導.(x→0+表示x從大于0的一邊無限趨近于0,即x>0且x趨近于0)

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