高二數學課后歸納推理綜合練習題
一、選擇題
1.關于歸納推理，下列說法正確的是()
A.歸納推理是一般到一般的推理
B.歸納推理是一般到個別的推理
C.歸納推理的結論一定是正確的
D.歸納推理的結論是或然性的
[答案] D
[解析] 歸納推理是由特殊到一般的推理，其結論的正確性不一定.故應選D.
2.下列推理是歸納推理的是()
A.A，B為定點，動點P滿足|PA|+|PB|=2a|AB|，得P的軌跡為橢圓
B.由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出數列的前n項和Sn的表達式
C.由圓x2+y2=r2的面積r2，猜出橢圓x2a2+y2b2=1的面積S=ab
D.科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇
[答案] B
[解析] 由歸納推理的定義知B是歸納推理，故應選B.
3.數列{an}：2,5,11,20，x,47，中的x等于()
A.28
B.32
C.33
D.27
[答案] B
[解析] 因為5-2=31,11-5=6=32,20-11=9=33，猜測x-20=34,47-x=35，推知x=32.故應選B.
4.在數列{an}中，a1=0，an+1=2an+2，則猜想an是()
A.2n-2-12
B.2n-2
C.2n-1+1
D.2n+1-4
[答案] B
[解析] ∵a1=0=21-2，
a2=2a1+2=2=22-2，
a3=2a2+2=4+2=6=23-2，
a4=2a3+2=12+2=14=24-2，
猜想an=2n-2.
故應選B.
5.某人為了觀看2015年奧運會，從2005年起，每年5月10日到銀行存入a元定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款均自動轉為新的一年定期，到2015年將所有的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(元)為()
A.a(1+p)7
B.a(1+p)8
C.ap[(1+p)7-(1+p)]
D.ap[(1+p)8-(1+p)]
[答案] D
[解析] 到2006年5月10日存款及利息為a(1+p).
到2007年5月10日存款及利息為
a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)2+(1+p)]
到2008年5月10日存款及利息為
a[(1+p)2+(1+p)](1+p)+a(1+p)
=a[(1+p)3+(1+p)2+(1+p)]
所以到2015年5月10日存款及利息為
a[(1+p)7+(1+p)6++(1+p)]
=a(1+p)[1-(1+p)7]1-(1+p)
=ap[(1+p)8-(1+p)].
故應選D.
6.已知數列{an}的前n項和Sn=n2an(n2)，而a1=1，通過計算a2，a3，a4，猜想an等于()
A.2(n+1)2
B.2n(n+1)
C.22n-1
D.22n-1
[答案] B
[解析] 因為Sn=n2an，a1=1，
所以S2=4a2=a1+a2a2=13=232，
S3=9a3=a1+a2+a3a3=a1+a28=16=243，
S4=16a4=a1+a2+a3+a4
a4=a1+a2+a315=110=254.
所以猜想an=2n(n+1)，故應選B.
7.n個連續自然數按規律排列下表：
根據規律，從2016到2015箭頭的方向依次為()
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 觀察特例的規律知：位置相同的數字都是以4為公差的等差數列，由234可知從2016到2015為，故應選C.
8.(2016山東文，10)觀察(x2)=2x，(x4)=4x3，(cosx)=-sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數f(x)滿足f(-x)=f(x)，記g(x)為f(x)的導函數，則g(-x)=()
A.f(x)
B.-f(x)
C.g(x)
D.-g(x)
[答案] D
[解析] 本題考查了推理證明及函數的奇偶性內容，由例子可看出偶函數求導后都變成了奇函數，
g(-x)=-g(x)，選D，體現了對學生觀察能力，概括歸納推理的能力的考查.
9.根據給出的數塔猜測1234569+7等于()
19+2=11
129+3=111
1239+4=1111
12349+5=11111
123459+6=111111
A.1111110
B.1111111
C.1111112
D.1111113
[答案] B
[解析] 根據規律應為7個1，故應選B.
10.把1、3、6、10、15、21、這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點子可以排成一個正三角形(如下圖)，
試求第七個三角形數是()
A.27
B.28
C.29
D.30
[答案] B
[解析] 觀察歸納可知第n個三角形數共有點數：1+2+3+4++n=n(n+1)2個，第七個三角形數為7(7+1)2=28.
二、填空題
11.觀察下列由火柴桿拼成的一列圖形中，第n個圖形由n個正方形組成：
通過觀察可以發現：第4個圖形中，火柴桿有________根;第n個圖形中，火柴桿有________根.
[答案] 13,3n+1
[解析] 第一個圖形有4根，第2個圖形有7根，第3個圖形有10根，第4個圖形有13根猜想第n個圖形有3n+1根.
12.從1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中，可得一般規律是__________________.
[答案] n+(n+1)+(n+2)++(3n-2)=(2n-1)2
[解析] 第1式有1個數，第2式有3個數相加，第3式有5個數相加，故猜想第n個式子有2n-1個數相加，且第n個式子的第一個加數為n，每數增加1，共有2n-1個數相加，故第n個式子為：
n+(n+1)+(n+2)++{n+[(2n-1)-1]}
=(2n-1)2，
即n+(n+1)+(n+2)++(3n-2)=(2n-1)2.
13.觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n2)個圓圈，每個圖案中圓圈的總數是S，按此規律推出S與n的關系式為________.
[答案] S=4(n-1)(n2)
[解析] 每條邊上有2個圓圈時共有S=4個;每條邊上有3個圓圈時，共有S=8個;每條邊上有4個圓圈時，共有S=12個.可見每條邊上增加一個點，則S增加4，S與n的關系為S=4(n-1)(n2).
14.(2009浙江理，15)觀察下列等式：
C15+C55=23-2，
C19+C59+C99=27+23，
C113+C513+C913+C1313=211-25，
C117+C517+C917+C1317+C1717=215+27，
由以上等式推測到一個一般的結論：
對于nN*，C14n+1+C54n+1+C94n+1++C4n+14n+1=__________________.
[答案] 24n-1+(-1)n22n-1
[解析] 本小題主要考查歸納推理的能力
等式右端第一項指數3,7,11,15，構成的數列通項公式為an=4n-1，第二項指數1,3,5,7，的.通項公式bn=2n-1，兩項中間等號正、負相間出現，右端=24n-1+(-1)n22n-1.
三、解答題
15.在△ABC中，不等式1A+1B+1C成立，
在四邊形ABCD中，不等式1A+1B+1C+1D成立，
在五邊形ABCDE中，不等式1A+1B+1C+1D+1E成立，猜想在n邊形A1A2An中，有怎樣的不等式成立?
[解析] 根據已知特殊的數值：9、162、253，，總結歸納出一般性的規律：n2(n-2)3).
在n邊形A1A2An中：1A1+1A2++1Ann2(n-2)3).
16.下圖中(1)、(2)、(3)、(4)為四個平面圖.數一數每個平面圖各有多少個頂點?多少條邊?它們圍成了多少個區域?并將結果填入下表中.
平面區域 頂點數 邊數 區域數
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)觀察上表，推斷一個平面圖形的頂點數、邊數、區域數之間有什么關系?
(2)現已知某個平面圖有999個頂點，且圍成了999個區域，試根據以上關系確定這個平面圖有多少條邊?
[解析] 各平面圖形的頂點數、邊數、區域數如下表：
平面區域 頂點數 邊數 區域數 關系
(1) 3 3 2 3+2-3=2
(2) 8 12 6 8+6-12=2
(3) 6 9 5 6+5-9=2
(4) 10 15 7 10+7-15=2
結論 V E F V+F-E=2
推廣 999 E 999 E=999+999-2
=1996
其頂點數V，邊數E，平面區域數F滿足關系式V+F-E=2.
故可猜想此平面圖可能有1996條邊.
17.在一容器內裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液14a升，攪勻后再倒出溶液14a升，這叫一次操作，設第n次操作后容器內溶液的濃度為bn(每次注入的溶液濃度都是p%)，計算b1、b2、b3，并歸納出bn的計算公式.
[解析] b1=ar100+a4p100a+a4=110045r+15p，
b2=ab1+a4p100a+a4=1100452r+15p+452p.
b3=ab2+a4p100a+a4
=1100453r+15p+452p+4253P，
歸納得bn=110045nr+15p+452p++4n-15nP.
18.設f(n)=n2+n+41，nN+，計算f(1)，f(2)，f(3)，，f(10)的值，同時作出歸納推理，并用n=40驗證猜想是否正確.
[解析] f(1)=12+1+41=43，f(2)=22+2+41=47，
f(3)=32+3+41=53，f(4)=42+4+41=61，
f(5)=52+5+41=71，f(6)=62+6+41=83，
f(7)=72+7+41=97，f(8)=82+8+41=113，
f(9)=92+9+41=131，f(10)=102+10+41=151.
由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都為質數.
即：當n取任何非負整數時f(n)=n2+n+41的值為質數.
但是當n=40時，f(40)=402+40+41=1681為合數.
所以，上面由歸納推理得到的猜想不正確.
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