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簡單的線性規(guī)劃問題檢測試題
1.目標(biāo)函數(shù)z=4x+y，將其看成直線方程時，z的幾何意義是( )
A.該直線的截距
B.該直線的縱截距
C.該直線的橫截距
D.該直線的縱截距的相反數(shù)
解析：選B.把z=4x+y變形為y=-4x+z，則此方程為直線方程的斜截式，所以z為該直線的縱截距.
2.若x≥0，y≥0，且x+y≤1，則z=x-y的最大值為( )
A.-1 B.1
C.2 D.-2
答案：B
3.若實(shí)數(shù)x、y滿足x+y-2≥0，x≤4，y≤5，則s=x+y的最大值為________.
解析：可行域如圖所示，
作直線y=-x，當(dāng)平移直線y=-x
至點(diǎn)A處時，s=x+y取得最大值，即smax=4+5=9.
答案：9
4.已知實(shí)數(shù)x、y滿足y≤2xy≥-2x.x≤3
(1)求不等式組表示的平面區(qū)域的面積;
(2)若目標(biāo)函數(shù)為z=x-2y，求z的最小值.
解：畫出滿足不等式組的可行域如圖所示：
(1)易求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為：A(3,6)，B(3，-6)，
所以三角形OAB的面積為：
S△OAB=12×12×3=18.
(2)目標(biāo)函數(shù)化為：y=12x-z2，畫直線y=12x及其平行線，當(dāng)此直線經(jīng)過A時，-z2的值最大，z的值最小，易求A 點(diǎn)坐標(biāo)為(3,6)，所以，z的最小值為3-2×6=-9.
一、選擇題
1.z=x-y在2x-y+1≥0x-2y-1≤0 x+y≤1的線性約束條件下，取得最大值的可行解為( )
A.(0,1) B.(-1，-1)
C.(1,0) D.(12，12)
解析：選C.可以驗(yàn)證這四個點(diǎn)均是可行解，當(dāng)x=0，y=1時，z=-1;當(dāng)x=-1，y=-1時，z=0;當(dāng)x=1，y=0時，z=1;當(dāng)x=12，y=12時，z=0.排除A，B，D.
2.(2010年高考浙江卷)若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-y+1≥0，則x+y的最大值為( )
A.9 B.157
C.1 D.715
解析：選A.畫出可行域如圖：
令z=x+y，可變?yōu)閥=-x+z，
作出目標(biāo)函數(shù)線，平移目標(biāo)函數(shù)線，顯然過點(diǎn)A時z最大.
由2x-y-3=0，x-y+1=0，得A(4,5)，∴zmax=4+5=9.
3.在△ABC中，三頂點(diǎn)分別為A(2,4)，B(-1,2)，C(1,0)，點(diǎn)P(x，y)在△ABC內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動，則m=y-x的取值范圍為( )
A.[1,3] B.[-3,1]
C.[-1,3] D.[-3，-1]
解析：選C.直線m=y-x的斜率k1=1≥kAB=23，且k1=1
∴直線經(jīng)過C時m最小，為-1，
經(jīng)過B時m最大，為3.
4.已知點(diǎn)P(x，y)在不等式組x-2≤0y-1≤0x+2y-2≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動，則z=x-y的取值范圍是( )
A.[-2，-1] B.[-2,1]
C.[-1,2] D.[1,2]
解析：選C.先畫出滿足約束條件的可行域，如圖陰影部分，
∵z=x-y，∴y=x-z.
由圖知截距-z的范圍為[-2，1]，∴z的范圍為[-1,2].
5.設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)滿足x-y+1x+y-4≥0，x≥3，y≥1.則x2+y2的最小值為( )
A.5 B.10
C.172 D.10
解析：選D.畫出不等式組所對應(yīng)的平面區(qū)域，由圖可知當(dāng)x=3，y=1時，x2+y2的最小值為10.
6.(2009年高考四川卷)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸.銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元、每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得的最大利潤是( ) w w w .x k b 1.c o m
A.12萬元 B.20萬元
C.25萬元 D.27萬元
解析：選D.設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，則獲得的利潤為z=5x+3y.
由題意得
x≥0，y≥0，3x+y≤13，2x+3y≤18，可行域如圖陰影所示.
由圖可知當(dāng)x、y在A點(diǎn)取值時，z取得最大值，此時x=3，y=4，z=5×3+3×4=27(萬元).
二、填空題
7.點(diǎn)P(x，y)滿足條件0≤x≤10≤y≤1，y-x≥12則P點(diǎn)坐標(biāo)為________時，z=4-2x+y取最大值________.
解析：可行域如圖所示，新課標(biāo)第一網(wǎng)
當(dāng)y-2x最大時，z最大，此時直線y-2x=z1，過點(diǎn)A(0,1)，(z1)max=1，故當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)時z=4-2x+y取得最大值5.
答案：(0,1) 5
8.已知點(diǎn)P(x，y)滿足條件x≥0y≤x2x+y+k≤0(k為常數(shù))，若x+3y的最大值為8，則k=________.
解析：作出可行域如圖所示：
作直線l0∶x+3y=0，平移l0知當(dāng)l0過點(diǎn)A時，x+3y最大，由于A點(diǎn)坐標(biāo)為(-k3，-k3).∴-k3-k=8，從而k=-6.
答案：-6
9.(2010年高考陜西卷)鐵礦石A和B的含鐵率a，，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價(jià)格c如下表：
a b/萬噸 c/百萬元
A 50% 1 3
B 70% 0.5 6
某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費(fèi)用為________(百萬元).
解析：設(shè)購買A、B兩種鐵礦石分別為x萬噸、y萬噸，購買鐵礦石的費(fèi)用為z百萬元，則z=3x+6y.
由題意可得約束條件為12x+710y≥1.9，x+12y≤2，x≥0，y≥0.
作出可行域如圖所示：
由圖可知，目標(biāo)函數(shù)z=3x+6y在點(diǎn)A(1,2)處取得最小值，zmin=3×1+6×2=15
答案：15
三、解答題
10.設(shè)z=2y-2x+4，式中x，y滿足條件0≤x≤10≤y≤22y-x≥1，求z的最大值和最小值.
解：作出不等式組0≤x≤10≤y≤22y-x≥1的可行域(如圖所示).
令t=2y-2x則z=t+4.
將t=2y-2x變形得直線l∶y=x+t2.
則其與y=x平行，平移直線l時t的值隨直線l的上移而增大，故當(dāng)直線l經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時，t最大，z最大;當(dāng)直線l經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B時，t最小，z最小.
∴zmax=2×2-2×0+4=8，
zmin=2×1-2×1+4=4.
11.已知實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件x-ay-1≥02x+y≥0x≤1(a∈R)，目標(biāo)函數(shù)z=x+3y只有當(dāng)x=1y=0時取得最大值，求a的取值范圍.
解：直線x-ay-1=0過定點(diǎn)(1,0)，畫出區(qū)域2x+y≥0，x≤1，讓直線x-ay-1=0繞著(1, 0)旋轉(zhuǎn)得到不等式所表示的平面區(qū)域.平移直線x+3y=0，觀察圖象知必須使直線x-ay-1=0的斜率1a>0才滿足要求，故a>0.
12.某家具廠有方木料90 m3 ，五合板600 m2，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2;生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一張方桌可獲利潤80元;出售一個書櫥可獲利潤120元.
(1)如果只安排生產(chǎn)方桌，可獲利潤多少?
(2)如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少?
(3)怎樣安排生產(chǎn)可使所獲利潤最大?
解：由題意可畫表格如下：
方木料(m3) 五合板(m2) 利潤(元)
書桌(個) 0.1 2 80
書櫥(個) 0.2 1 120
(1)設(shè)只生產(chǎn)書桌x張，可獲利潤z元，
則0.1x≤902x≤600x∈N*x≤900x≤300x∈N*x≤300，x∈N*.
目標(biāo)函數(shù)為z=80x.
所以當(dāng)x=300時，zmax=80×300=24000(元)，
即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn)300張書桌，獲得利潤24000元.
(2)設(shè)只生產(chǎn)書櫥y個，可獲利潤z元，則
0.2y≤901y≤600y∈N*y≤450y≤600y∈N*y≤450，y∈N*.
目標(biāo)函數(shù)為z=120y.
所以當(dāng)y=450時，zmax=120×450=54000(元)，
即如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn)450個書櫥，獲得利潤54000元.
(3)設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元，則
0.1x+0.2y≤902x+y≤600x≥0，x∈Ny≥0，x∈Nx+2y≤900，2x+y≤600，x≥0，y≥0，且x∈N，y∈N.
目標(biāo)函數(shù)為z= 80x+120y.
在直角坐標(biāo)平面內(nèi)作出上面不等式組所表示的平面區(qū)域 ，即可行域(圖略).
作直線l∶80x+120y=0，即直線l∶2x+3y=0(圖略).
把直線l向右上方平移，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的直線x+2y=900,2x+y=600的交點(diǎn)時，此時z=80x+120y取得最大值.
由x+2y=9002x+y=600解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為(100,400).
所以當(dāng)x=100，y=400時，
zmax=80×100+120×400=56000(元).
因此，生產(chǎn)書桌100張，書櫥400個，可使所獲利潤最大.
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