高二數學教案

時間：2022-07-04 09:20:19 數學教案我要投稿

高二數學教案

　　作為一名為他人授業解惑的教育工作者，就難以避免地要準備教案，教案有助于學生理解并掌握系統的知識。那么問題來了，教案應該怎么寫？以下是小編為大家收集的高二數學教案，僅供參考，大家一起來看看吧。

高二數學教案

高二數學教案 1

　　一、課前預習目標

　　理解并掌握雙曲線的幾何性質，并能從雙曲線的標準方程出發，推導出這些性質，并能具體估計雙曲線的形狀特征。

　　二、預習內容

　　1、雙曲線的幾何性質及初步運用。

　　類比橢圓的幾何性質。

　　2。雙曲線的漸近線方程的導出和論證。

　　觀察以原點為中心，2a、2b長為鄰邊的矩形的兩條對角線，再論證這兩條對角線即為雙曲線的漸近線。

　　三、提出疑惑

　　同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中

　　課內探究

　　1、橢圓與雙曲線的幾何性質異同點分析

　　2、描述雙曲線的漸進線的作用及特征

　　3、描述雙曲線的離心率的作用及特征

　　4、例、練習嘗試訓練：

　　例1。求雙曲線9y2—16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。

　　解：

　　5、雙曲線的第二定義

　　1）。定義（由學生歸納給出）

　　2）。說明

　　（七）小結（由學生課后完成）

　　將雙曲線的幾何性質按兩種標準方程形式列表小結。

　　作業：

　　1。已知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點、離心率e和漸近線方程。

　　（1）16x2—9y2=144;

　　（2）16x2—9y2=—144。

　　2。求雙曲線的標準方程：

　　（1）實軸的長是10，虛軸長是8，焦點在x軸上;

　　（2）焦距是10，虛軸長是8，焦點在y軸上;

　　曲線的方程。

　　點到兩準線及右焦點的距離。

高二數學教案 2

　　目的要求：

　　1．復習鞏固求曲線的方程的基本步驟；

　　2．通過教學，逐步提高學生求貢線的方程的能力，靈活掌握解法步驟；

　　3．滲透“等價轉化”、“數形結合”、“整體”思想，培養學生全面分析問題的能力，訓練思維的深刻性、廣闊性及嚴密性。

　　教學重點、難點：

　　方程的求法教學方法：講練結合、討論法

　　教學過程：

　　一、學點聚集：

　　1．曲線C的方程是f(x,y)=0（或方程f(x,y)=0的曲線是C）實質是

　　①曲線C上任一點的坐標都是方程f(x,y)=0的解

　　②以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都是曲線C上的點

　　2．求曲線方程的基本步驟

　　①建系設點；

　　②尋等列式；

　　③代換（坐標化）；

　　④化簡；

　　⑤證明（若第四步為恒等變形，則這一步驟可省略）

　　二、基礎訓練題：

　　221．方程x-y=0的曲線是（）

　　A．一條直線和一條雙曲線B．兩個點C．兩條直線D．以上都不對

　　2．如圖，曲線的方程是（）

　　A．x?y?0 B．x?y?0 C．

　　xy?1 D．

　　x?1 y3．到原點距離為6的點的軌跡方程是。

　　4．到x軸的距離與其到y軸的距離之比為2的點的軌跡方程是。

　　三、例題講解：

　　例1：已知一條曲線在y軸右方，它上面的每一點到A?2,0?的距離減去它到y軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程。

　　例2：已知P(1,3)過P作兩條互相垂直的直線l

　　1、l2，它們分別和x軸、y軸交于B、C兩點，求線段BC的中點的軌跡方程。

　　2例3：已知曲線y=x+1和定點A(3,1)，B為曲線上任一點，點P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當點B在曲線上運動時，求點P的軌跡方程。

　　鞏固練習：

　　1．長為4的線段AB的兩個端點分別在x軸和y軸上滑動，求AB中點M的軌跡方程。

　　22．已知△ABC中，B(-2,0)，C(2,0)頂點A在拋物線y=x+1移動，求△ABC的重心G的軌跡方程。

　　思考題：

　　已知B(-3,0)，C(3,0)且三角形ABC中BC邊上的高為3，求三角形ABC的垂心H的軌跡方程。

　　小結：

　　1．用直接法求軌跡方程時，所求點滿足的條件并不一定直接給出，需要仔細分析才能找到。

　　2．用坐標轉移法求軌跡方程時要注意所求點和動點之間的聯系。

　　作業：

　　蘇大練習第57頁例3，教材第72頁第3題、第7題。

高二數學教案 3

　　教學目標

　　1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；

　　2．能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數法求橢圓的標準方程；

　　3．通過對橢圓概念的引入教學，培養學生的觀察能力和探索能力；

　　4．通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數形結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；

　　5．通過讓中國學習聯盟膽探索橢圓的定義和標準方程，激發學生學習數學的積極性，培養學生的學習興趣和創新意識．

　　教學建議

　　教材分析

　　1．知識結構

　　2．重點難點分析

　　重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式．難點是橢圓標準方程的建立和推導．關鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法．

　　橢圓及其標準方程這一節教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程．橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用．先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然．學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的．

　　（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解．

　　另外要注意到定義中對“常數”的限定即常數要大于．這樣規定是為了避免出現兩種特殊情況，即：“當常數等于時軌跡是一條線段；當常數小于時無軌跡”．這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質．但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性．

　　（2）根據橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：

　　①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當的坐標系，是求曲線方程首先應該注意的地方．應讓學生觀察橢圓的圖形或根據橢圓的定義進行推理，發現橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔．

　　②設橢圓的焦距為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為，令，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會．

　　③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經常遇到的問題，又是學生的難點．要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，并使其中一側只有一項．

　　④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程 “而沒有證明，”方程的解為坐標的點都在橢圓上”．這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求．

　　（3）兩種標準方程的橢圓異同點

　　中心在原點、焦點分別在軸上，軸上的橢圓標準方程分別為：，．它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有，．不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同．

　　橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大；

　　橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大．

　　另外，形如中，只要，，同號，就是橢圓方程，它可以化為．

　　（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法．例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓．

　　教法建議

　　（1）使學生了解圓錐曲線在生產和科學技術中的應用，激發學生的學習興趣．

　　為激發學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數，如書中所給的例子，還可以啟發學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。

　　例如，我們生活的地球每時每刻都在環繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上．如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行．人類發射人造地球衛星或人造行星就要遵循這個原理．相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道．因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的．

　　（2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷

　　為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節約課堂時間，教學時應安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識．

　　（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。

　　教師可從太陽、地球、人造地球衛星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

　　教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結出經驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解。

　　（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現橢圓的定義的實質

　　在教學時，可以設置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程（）中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

　　（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯系

　　在講解橢圓的定義時，就要啟發學生注意橢圓的圖形特征，一般學生比較容易發現橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學生就比較容易選擇適當的坐標系了，即使焦點在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質）．雖然這時學生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向學生逐步滲透了坐標法．

　　（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法．

　　推導橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數高、項數多，教學時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識．通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項．（為了避免二次平方運算）

　　（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發學生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然后鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識．

　　（8）在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識

　　橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念．對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向學生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析．

　　（9）要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養學生的團結協作的團隊精神。

高二數學教案 4

　　一、課前準備：

　　【自主梳理】

　　1.對數：

　　(1) 一般地，如果，那么實數叫做________________，記為________，其中叫做對數的_______，叫做________.

　　(2)以10為底的對數記為________，以為底的對數記為_______.

　　(3) ， .

　　2.對數的運算性質：

　　(1)如果，那么，

　　(2)對數的換底公式： .

　　3.對數函數：

　　一般地，我們把函數____________叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是______.

　　4.對數函數的圖像與性質：

　　a1 0

　　圖象性

　　質定義域：___________

　　值域：_____________

　　過點(1，0)，即當x=1時，y=0

　　x(0，1)時_________

　　x(1，+)時________ x(0，1)時_________

　　x(1，+)時________

　　在___________上是增函數在__________上是減函數

　　【自我檢測】

　　1. 的定義域為_________.

　　2.化簡： .

　　3.不等式的解集為________________.

　　4.利用對數的換底公式計算： .

　　5.函數的奇偶性是____________.

　　6.對于任意的，若函數，則與的大小關系是___________________________.

　　二、課堂活動：

　　【例1】填空題：

　　(1) .

　　(2)比較與的大小為___________.

　　(3)如果函數，那么的最大值是_____________.

　　(4)函數的奇偶性是___________.

　　【例2】求函數的定義域和值域.

　　【例3】已知函數滿足 .

　　(1)求的解析式;

　　(2)判斷的奇偶性;

　　(3)解不等式 .

　　課堂小結

　　三、課后作業

　　1. .略

　　2.函數的定義域為_______________.

　　3.函數的值域是_____________.

　　4.若，則的取值范圍是_____________.

　　5.設則的大小關系是_____________.

　　6.設函數，若，則的取值范圍為_________________.

　　7.當時，不等式恒成立，則的取值范圍為______________.

　　8.函數在區間上的值域為，則的最小值為____________.

　　9.已知 .

　　(1)求的定義域;

　　(2)判斷的奇偶性并予以證明;

　　(3)求使的的取值范圍.

　　10.對于函數，回答下列問題：

　　(1)若的定義域為，求實數的取值范圍;

　　(2)若的值域為，求實數的取值范圍;

　　(3)若函數在內有意義，求實數的取值范圍.

　　四、糾錯分析

　　錯題卡題號錯題原因分析

　　高二數學教案：對數與對數函數

　　一、課前準備：

　　【自主梳理】

　　1.對數

　　(1)以為底的的對數，，底數，真數.

　　(2) ， .

　　(3)0，1.

　　2.對數的運算性質

　　(1) ， , .

　　(2) .

　　3.對數函數

　　， .

　　4.對數函數的圖像與性質

　　a1 0

　　圖象性質定義域：(0，+)

　　值域：R

　　過點(1，0)，即當x=1時，y=0

　　x(0，1)時y0

　　x(1，+)時y0 x(0，1)時y0

　　x(1，+)時y0

　　在(0，+)上是增函數在(0，+)上是減函數

　　【自我檢測】

　　1. 2. 3.

　　4. 5.奇函數 6. .

　　二、課堂活動：

　　【例1】填空題：

　　(1)3.

　　(2) .

　　(3)0.

　　(4)奇函數.

　　【例2】解：由得 .所以函數的定義域是(0，1).

　　因為，所以，當時，，函數的值域為 ;當時，，函數的值域為 .

　　【例3】解：(1) ，所以 .

　　(2)定義域(-3，3)關于原點對稱，所以

　　，所以為奇函數.

　　(3) ，所以當時，解得

　　當時，解得 .

高二數學教案 5

　　（1）平面向量基本定理的內容是什么？

　　（2）如何定義平面向量基底？

　　（3）兩向量夾角的定義是什么？如何定義向量的垂直？

　　[新知初探]

　　1、平面向量基本定理

　　條件e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量

　　結論這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2

　　基底不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底

　　[點睛]對平面向量基本定理的理解應注意以下三點：①e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量；②該平面內任意向量a都可以用e1，e2線性表示，且這種表示是的；③基底不，只要是同一平面內的兩個不共線向量都可作為基底。

　　2、向量的夾角

　　條件兩個非零向量a和b

　　產生過程

　　作向量=a，=b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角

　　范圍0°≤θ≤180°

　　特殊情況θ=0°a與b同向

　　θ=90°a與b垂直，記作a⊥b

　　θ=180°a與b反向

　　[點睛]當a與b共線同向時，夾角θ為0°，共線反向時，夾角θ為180°，所以兩個向量的夾角的范圍是0°≤θ≤180°。

　　[小試身手]

　　1、判斷下列命題是否正確。（正確的打“√”，錯誤的打“×”）

　　（1）任意兩個向量都可以作為基底。（）

　　（2）一個平面內有無數對不共線的向量都可作為表示該平面內所有向量的基底。（）

　　（3）零向量不可以作為基底中的'向量。（）

　　答案：（1）×（2）√（3）√

　　2、若向量a，b的夾角為30°，則向量—a，—b的夾角為（）

　　A、60°B、30°

　　C、120°D、150°

　　答案：B

　　3、設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是（）

　　A、e1，e2B、e1+e2，3e1+3e2

　　C、e1，5e2D、e1，e1+e2

　　答案：B

　　4、在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，則向量，的夾角為XXXXXX。

　　答案：135°

　　用基底表示向量

　　[典例]如圖，在平行四邊形ABCD中，設對角線=a，=b，試用基底a，b表示，。

　　[解]法一：由題意知，==12=12a，==12=12b。

　　所以=+=—=12a—12b，

　　=+=12a+12b，

　　法二：設=x，=y，則==y，

　　又+=，—=，則x+y=a，y—x=b，

　　所以x=12a—12b，y=12a+12b，

　　即=12a—12b，=12a+12b。

　　用基底表示向量的方法

　　將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的性求解。

　　[活學活用]

　　如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分別是AD，BC邊上的中點，且BC=3AD，=a，=b。試以a，b為基底表示。

　　解：∵AD∥BC，且AD=13BC，

　　∴=13=13b。

　　∵E為AD的中點，

　　∴==12=16b。

　　∵=12，∴=12b，

　　∴=++

　　=—16b—a+12b=13b—a，

　　=+=—16b+13b—a=16b—a，

　　=+=—（+）

　　=—（+）=—16b—a+12b

　　=a—23b。

高二數學教案 6

　　教學目標：

　　1．了解復數的幾何意義，會用復平面內的點和向量來表示復數；了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義．

　　2．通過建立復平面上的點與復數的一一對應關系，自主探索復數加減法的幾何意義．

　　教學重點：

　　復數的幾何意義，復數加減法的幾何意義．

　　教學難點：

　　復數加減法的幾何意義．

　　教學過程：

　　一、問題情境

　　我們知道，實數與數軸上的點是一一對應的，實數可以用數軸上的點來表示．那么，復數是否也能用點來表示呢？

　　二、學生活動

　　問題1 任何一個復數a＋bi都可以由一個有序實數對（a，b）惟一確定，而有序實數對（a，b）與平面直角坐標系中的點是一一對應的，那么我們怎樣用平面上的點來表示復數呢？

　　問題2 平面直角坐標系中的點A與以原點O為起點，A為終點的向量是一一對應的，那么復數能用平面向量表示嗎？

　　問題3 任何一個實數都有絕對值，它表示數軸上與這個實數對應的點到原點的距離．任何一個向量都有模，它表示向量的長度，那么相應的，我們可以給出復數的模（絕對值）的概念嗎？它又有什么幾何意義呢？

　　問題4 復數可以用復平面的向量來表示，那么，復數的加減法有什么幾何意義呢？它能像向量加減法一樣，用作圖的方法得到嗎？兩個復數差的模有什么幾何意義？

　　三、建構數學

　　1．復數的幾何意義：在平面直角坐標系中，以復數a＋bi的實部a為橫坐標，虛部b為縱坐標就確定了點Z（a，b），我們可以用點Z（a，b）來表示復數a＋bi，這就是復數的幾何意義．

　　2．復平面：建立了直角坐標系來表示復數的平面．其中x軸為實軸，y軸為虛軸．實軸上的點都表示實數，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數．

　　3．因為復平面上的點Z（a，b）與以原點O為起點、Z為終點的向量一一對應，所以我們也可以用向量來表示復數z＝a＋bi，這也是復數的幾何意義．

　　6．復數加減法的幾何意義可由向量加減法的平行四邊形法則得到，兩個復數差的模就是復平面內與這兩個復數對應的兩點間的距離．同時，復數加減法的法則與平面向量加減法的坐標形式也是完全一致的．

　　四、數學應用

　　例1 在復平面內，分別用點和向量表示下列復數4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．

　　練習課本P123練習第3，4題（口答）．

　　思考

　　1．復平面內，表示一對共軛虛數的兩個點具有怎樣的位置關系？

　　2．如果復平面內表示兩個虛數的點關于原點對稱，那么它們的實部和虛部分別滿足什么關系？

　　3．“a＝0”是“復數a＋bi（a，b∈R）是純虛數”的__________條件．

　　4．“a＝0”是“復數a＋bi（a，b∈R）所對應的點在虛軸上”的_____條件．

　　例2 已知復數z＝（m2＋m－6）＋（m2＋m－2）i在復平面內所對應的點位于第二象限，求實數m允許的取值范圍．

　　例3 已知復數z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，試比較它們模的大小．

　　思考任意兩個復數都可以比較大小嗎？

　　例4 設z∈C，滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？

　　（1）│z│＝2；（2）2＜│z│＜3．

　　變式：課本P124習題3．3第6題．

　　五、要點歸納與方法小結

　　本節課學習了以下內容：

　　1．復數的幾何意義．

　　2．復數加減法的幾何意義．

　　3．數形結合的思想方法．

高二數學教案 7

　　教學目的:

　　1、使學生理解線段的垂直平分線的性質定理及逆定理,掌握這兩個定理的關系并會用這兩個定理解決有關幾何問題。

　　2、了解線段垂直平分線的軌跡問題。

　　3、結合教學內容培養學生的動作思維、形象思維和抽象思維能力。

　　教學重點:

　　線段的垂直平分線性質定理及逆定理的引入證明及運用。

　　教學難點:

　　線段的垂直平分線性質定理及逆定理的關系。

　　教學關鍵:

　　1、垂直平分線上所有的點和線段兩端點的距離相等。

　　2、到線段兩端點的距離相等的所有點都在這條線段的垂直平分線上。

　　教具:投影儀及投影膠片。

　　教學過程:

　　一、提問

　　1、角平分線的性質定理及逆定理是什么?

　　2、怎樣做一條線段的垂直平分線?

　　二、新課

　　1、請同學們在課堂練習本上做線段AB的垂直平分線EF(請一名同學在黑板上做)。

　　2、在EF上任取一點P,連結PA、PB量出PA=?,PB=?引導學生觀察這兩個值有什么關系?

　　通過學生的觀察、分析得出結果PA=PB,再取一點P'試一試仍然有P'A=P'B,引導學生猜想EF上的所有點和點A、點B的距離都相等,再請同學把這一結論敘述成命題(用幻燈展示)。

　　定理:線段的垂直平分線上的點和這條線段的兩個端點的距離相等。

　　這個命題,是我們通過作圖、觀察、猜想得到的,還得在理論上加以證明是真命題才能做為定理。

　　例題：

　　已知:如圖,直線EF⊥AB,垂足為C,且AC=CB,點P在EF上

　　求證:PA=PB

　　如何證明PA=PB學生分析得出只要證RTΔPCA≌RTΔPCB

　　答：證明:∵PC⊥AB(已知)

　　∴∠PCA=∠PCB(垂直的定義)

　　在ΔPCA和ΔPCB中

　　∴ΔPCA≌ΔPCB(SAS)

　　即:PA=PB(全等三角形的對應邊相等)。

　　反過來,如果PA=PB,P1A=P1B,點P,P1在什么線上?

　　過P,P1做直線EF交AB于C,可證明ΔPAP1≌PBP1(SSS)

　　∴EF是等腰三角型ΔPAB的頂角平分線

　　∴EF是AB的垂直平分線(等腰三角形三線合一性質)

　　∴P,P1在AB的垂直平分線上,于是得出上述定理的逆定理(啟發學生敘述)(用幻燈展示)。

　　逆定理:和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上。

　　根據上述定理和逆定理可以知道:直線MN可以看作和兩點A、B的距離相等的所有點的集合。

　　線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。

　　三、舉例(用幻燈展示)

　　例:已知,如圖ΔABC中,邊AB,BC的垂直平分線相交于點P,求證:PA=PB=PC。

　　證明:∵點P在線段AB的垂直平分線上

　　∴PA=PB

　　同理PB=PC

　　∴PA=PB=PC

　　由例題PA=PC知點P在AC的垂直平分線上,所以三角形三邊的垂直平分線交于一點P,這點到三個頂點的距離相等。

　　四、小結

　　正確的運用這兩個定理的關鍵是區別它們的條件與結論,加強證明前的分析,找出證明的途徑。定理的作用是可證明兩條線段相等或點在線段的垂直平分線上。

　　《教案設計說明》

　　線段的垂直平分線的性質定理及逆定理,都是幾何中的重要定理,也是一條重要軌跡。在幾何證明、計算、作圖中都有重要應用。我講授這節課是線段垂直平分線的第一節課,主要完成定理的引出、證明和初步的運用。

　　在設計教案時,我結合教材內容,對如何導入新課,引出定理以及證明進行了探索。在導入新課這一環節上我先讓學生做一條線段AB的垂直平分線EF,在EF上取一點P,讓學生量出PA、PB的長度,引導學生觀察、討論每個人量得的這兩個長度之間有什么關系:得到什么結論?學生回答:PA=PB。然后再讓學生取一點試一試,這兩個長度也相等,由此引導學生猜想到線段垂直平分線的性質定理。在這一過程中讓學生主動積極的參與到教學中來,使學生通過作圖、觀察、量一量再得出結論。從而把知識的形成過程轉化為學生親自參與、發現、探索的過程。在教學時,引導學生分析性質定理的題設與結論,畫圖寫出已知、求證,通過分析由學生得出證明性質定理的方法,這個過程既是探索過程也是調動學生動腦思考的過程,只有學生動腦思考了,才能真正理解線段垂直平分線的性質定理,以及證明方法。在此基礎上再提出如果有兩點到線段的兩端點的距離相等,這樣的點應在什么樣的直線上?由條件得出這樣的點在線段的垂直平分線上,從而引出性質定理的逆定理,由上述兩個定理使學生再進一步知道線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點距離的所有點的集合。這樣可以幫助學生認識理論來源于實踐又服務于實踐的道理,也能提高他們學習的積極性,加深對所學知識的理解。在講解例題時引導學生用所學的線段垂直平分線的性質定理以及逆定理來證,避免用三角形全等來證。最后總結點P是三角形三邊垂直平分線的交點,這個點到三個頂點的距離相等。為了使學生當堂掌握兩個定理的靈活運用,讓學生做87頁的兩個練習,以達到鞏固知識的目的。

高二數學教案 8

　　學習目標：

　　1、了解本章的學習的內容以及學習思想方法

　　2、能敘述隨機變量的定義

　　3、能說出隨機變量與函數的關系，

　　4、能夠把一個隨機試驗結果用隨機變量表示

　　重點：能夠把一個隨機試驗結果用隨機變量表示

　　難點：隨機事件概念的透徹理解及對隨機變量引入目的的認識：

　　環節一：隨機變量的定義

　　1.通過生活中的一些隨機現象，能夠概括出隨機變量的定義

　　2能敘述隨機變量的定義

　　3能說出隨機變量與函數的區別與聯系

　　一、閱讀課本33頁問題提出和分析理解，回答下列問題?

　　1、了解一個隨機現象的規律具體指的是什么?

　　2、分析理解中的兩個隨機現象的隨機試驗結果有什么不同?建立了什么樣的對應關系?

　　總結：

　　3、隨機變量

　　(1)定義：

　　這種對應稱為一個隨機變量。即隨機變量是從隨機試驗每一個可能的結果所組成的

　　到的映射。

　　(2)表示：隨機變量常用大寫字母.等表示.

　　(3)隨機變量與函數的區別與聯系

　　函數隨機變量

　　自變量

　　因變量

　　因變量的范圍

　　相同點都是映射都是映射

　　環節二隨機變量的應用

　　1、能正確寫出隨機現象所有可能出現的結果2、能用隨機變量的描述隨機事件

　　例1：已知在10件產品中有2件不合格品。現從這10件產品中任取3件，其中含有的次品數為隨機變量的學案.這是一個隨機現象。(1)寫成該隨機現象所有可能出現的結果;(2)試用隨機變量來描述上述結果。

　　變式：已知在10件產品中有2件不合格品。從這10件產品中任取3件，這是一個隨機現象。若Y表示取出的3件產品中的合格品數，試用隨機變量描述上述結果

　　例2連續投擲一枚均勻的硬幣兩次，用X表示這兩次正面朝上的次數，則X是一個隨機變

　　量，分別說明下列集合所代表的隨機事件：

　　(1){X=0}(2){X=1}

　　(3){X<2}(4){x>0}

　　變式：連續投擲一枚均勻的硬幣三次，用X表示這三次正面朝上的次數，則X是一個隨機變量，X的可能取值是?并說明這些值所表示的隨機試驗的結果.

　　練習：寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機變量的結果。

　　(1)從學校回家要經過5個紅綠燈路口，可能遇到紅燈的次數;

　　(2)一個袋中裝有5只同樣大小的球，編號為1，2，3，4，5，現從中隨機取出3只球，被取出的球的號碼數;

　　小結(對標）

高二數學教案 9

　　教學準備

　　教學目標

　　熟練掌握三角函數式的求值

　　教學重難點

　　熟練掌握三角函數式的求值

　　教學過程

　　【知識點精講】

　　三角函數式的求值的關鍵是熟練掌握公式及應用,掌握公式的逆用和變形

　　三角函數式的求值的類型一般可分為:

　　(1)“給角求值”：給出非特殊角求式子的值。仔細觀察非特殊角的特點，找出和特殊角之間的關系，利用公式轉化或消除非特殊角

　　(2)“給值求值”：給出一些角得三角函數式的值，求另外一些角得三角函數式的值。找出已知角與所求角之間的某種關系求解

　　(3)“給值求角”：轉化為給值求值，由所得函數值結合角的范圍求出角。

　　(4)“給式求值”：給出一些較復雜的三角式的值，求其他式子的值。將已知式或所求式進行化簡，再求之

　　三角函數式常用化簡方法：切割化弦、高次化低次

　　注意點：靈活角的變形和公式的變形

　　重視角的范圍對三角函數值的影響，對角的范圍要討論

　　【例題選講】

　　課堂小結】

　　三角函數式的求值的關鍵是熟練掌握公式及應用,掌握公式的逆用和變形

　　三角函數式的求值的類型一般可分為:

　　(1)“給角求值”：給出非特殊角求式子的值。仔細觀察非特殊角的特點，找出和特殊角之間的關系，利用公式轉化或消除非特殊角

　　(2)“給值求值”：給出一些角得三角函數式的值，求另外一些角得三角函數式的值。找出已知角與所求角之間的某種關系求解

　　(3)“給值求角”：轉化為給值求值，由所得函數值結合角的范圍求出角。

　　(4)“給式求值”：給出一些較復雜的三角式的值，求其他式子的值。將已知式或所求式進行化簡，再求之

　　三角函數式常用化簡方法：切割化弦、高次化低次

　　注意點：靈活角的變形和公式的變形

　　重視角的范圍對三角函數值的影響，對角的范圍要討論

高二數學教案 10

　　平面向量共線的坐標表示

　　前提條件a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0

　　結論當且僅當x1y2-x2y1=0時，向量a、b(b≠0)共線

　　[點睛](1)平面向量共線的坐標表示還可以寫成x1x2=y1y2(x2≠0，y2≠0)，即兩個不平行于坐標軸的共線向量的對應坐標成比例;

　　(2)當a≠0，b=0時，a∥b，此時x1y2-x2y1=0也成立，即對任意向量a，b都有：x1y2-x2y1=0?a∥b.

　　[小試身手]

　　1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)

　　(1)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若a∥b，則必有x1y2=x2y1.()

　　(2)向量(2,3)與向量(-4，-6)反向.()

　　答案：(1)√(2)√

　　2.若向量a=(1,2)，b=(2,3)，則與a+b共線的向量可以是()

　　A.(2,1)B.(-1,2)C.(6,10)D.(-6,10)

　　答案：C

　　3.已知a=(1,2)，b=(x,4)，若a∥b，則x等于()

　　A.-12B.12C.-2D.2

　　答案：D

　　4.已知向量a=(-2,3)，b∥a，向量b的起點為A(1,2)，終點B在x軸上，則點B的坐標為________.

　　答案：73，0

　　向量共線的判定

　　[典例](1)已知向量a=(1,2)，b=(λ，1)，若(a+2b)∥(2a-2b)，則λ的值等于()

　　A.12B.13C.1D.2

　　(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，-3).判斷與是否共線?如果共線，它們的方向相同還是相反?

　　[解析](1)法一：a+2b=(1,2)+2(λ，1)=(1+2λ，4)，2a-2b=2(1,2)-2(λ，1)=(2-2λ，2)，由(a+2b)∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0，解得λ=12.

　　法二：假設a，b不共線，則由(a+2b)∥(2a-2b)可得a+2b=μ(2a-2b)，從而1=2μ，2=-2μ，方程組顯然無解，即a+2b與2a-2b不共線，這與(a+2b)∥(2a-2b)矛盾，從而假設不成立，故應有a，b共線，所以1λ=21，即λ=12.

　　[答案]A

　　(2)[解]=(0,4)-(2,1)=(-2,3)，=(5，-3)-(1,3)=(4，-6)，

　　∵(-2)×(-6)-3×4=0，∴，共線.

　　又=-2，∴，方向相反.

　　綜上，與共線且方向相反.

　　向量共線的判定方法

　　(1)利用向量共線定理，由a=λb(b≠0)推出a∥b.

　　(2)利用向量共線的坐標表達式x1y2-x2y1=0直接求解.

　　[活學活用]

　　已知a=(1,2)，b=(-3,2)，當k為何值時，ka+b與a-3b平行，平行時它們的方向相同還是相反?

　　解：ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)，

　　a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10，-4)，

　　若ka+b與a-3b平行，則-4(k-3)-10(2k+2)=0，

　　解得k=-13，此時ka+b=-13a+b=-13(a-3b)，故ka+b與a-3b反向.

　　∴k=-13時，ka+b與a-3b平行且方向相反.

　　三點共線問題

　　[典例](1)已知=(3,4)，=(7,12)，=(9,16)，求證：A，B，C三點共線;

　　(2)設向量=(k,12)，=(4,5)，=(10，k)，當k為何值時，A，B，C三點

　　共線?

　　[解](1)證明：∵=-=(4,8)，

　　=-=(6,12)，

　　∴=32，即與共線.

　　又∵與有公共點A，∴A，B，C三點共線.

　　(2)若A，B，C三點共線，則，共線，

　　∵=-=(4-k，-7)，

　　=-=(10-k，k-12)，

　　∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0.

　　解得k=-2或k=11.

　　有關三點共線問題的解題策略

　　(1)要判斷A，B，C三點是否共線，一般是看與，或與，或與是否共線，若共線，則A，B，C三點共線;

　　(2)使用A，B，C三點共線這一條件建立方程求參數時，利用=λ，或=λ，或=λ都是可以的，但原則上要少用含未知數的表達式.

高二數學教案 11

　　一、教材分析

　　推理是高考的重要的內容，推理包括合情推理與演繹推理，由于解答高考題的過程就是推理的過程，因此本部分內容的考察將會滲透到每一個高考題中，考察推理的基本思想和方法，既可能在選擇題中和填空題中出現，也可能在解答題中出現。

　　二、教學目標

　　(1)知識與能力：了解演繹推理的含義及特點，會將推理寫成三段論的形式

　　(2)過程與方法：了解合情推理和演繹推理的區別與聯系

　　(3)情感態度價值觀：了解演繹推理在數學證明中的重要地位和日常生活中的作用，養成言之有理論證有據的習慣。

　　三、教學重點難點

　　教學重點：演繹推理的含義與三段論推理及合情推理和演繹推理的區別與聯系

　　教學難點：演繹推理的應用

　　四、教學方法：探究法

　　五、課時安排：1課時

　　六、教學過程

　　1. 填一填：

　　① 所有的金屬都能夠導電，銅是金屬，所以 ;

　　② 太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行，冥王星是太陽系的大行星，因此 ;

　　③ 奇數都不能被2整除，20xx是奇數，所以 .

　　2.討論：上述例子的推理形式與我們學過的合情推理一樣嗎?

　　3.小結：

　　① 概念：從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為____________.

　　要點：由_____到_____的推理.

　　② 討論：演繹推理與合情推理有什么區別?

　　③ 思考：所有的金屬都能夠導電，銅是金屬，所以銅能導電，它由幾部分組成，各部分有什么特點?

　　小結：三段論是演繹推理的一般模式：

　　第一段：_________________________________________;

　　第二段：_________________________________________;

　　第三段：____________________________________________.

　　④ 舉例：舉出一些用三段論推理的例子.

　　例1：證明函數在上是增函數.

　　例2：在銳角三角形ABC中，，D，E是垂足. 求證：AB的中點M到D，E的距離相等.

　　當堂檢測：

　　討論：因為指數函數是增函數，是指數函數，則結論是什么?

　　討論：演繹推理怎樣才能使得結論正確?

　　比較：合情推理與演繹推理的區別與聯系?

　　課堂小結

　　課后練習與提高

　　1.演繹推理是以下列哪個為前提，推出某個特殊情況下的結論的推理方法( )

　　A.一般的原理原則; B.特定的命題;

　　C.一般的命題; D.定理、公式.

　　2.因為對數函數是增函數(大前提)，而是對數函數(小前提)，所以是增函數(結論).上面的推理的錯誤是( )

　　A.大前提錯導致結論錯; B.小前提錯導致結論錯;

　　C.推理形式錯導致結論錯; D.大前提和小前提都錯導致結論錯.

　　3.下面幾種推理過程是演繹推理的是( )

　　A.兩條直線平行，同旁內角互補，如果A和B是兩條平行直線的同旁內角，則B =180B.由平面三角形的性質，推測空間四面體的性質;.

　　4.補充下列推理的三段論：

　　(1)因為互為相反數的兩個數的和為0，又因為與互為相反數且________________________,所以 =8.

　　(2)因為_____________________________________，又因為是無限不循環小數，所以是無理數.

　　七、板書設計

　　八、教學反思

高二數學教案 12

　　課題：2。1曲線與方程

　　課時：01

　　課型：新授課

　　一、教學目標

　　（一）知識教學點

　　使學生掌握常用動點的軌跡以及求動點軌跡方程的常用技巧與方法。

　　（二）能力訓練點

　　通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養學生綜合運用各方面知識的能力。

　　（三）學科滲透點

　　通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學生掌握常用動點的軌跡，為學習物理等學科打下扎實的基礎。

　　二、教材分析

　　1、重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法。

　　（解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學生掌握這種方法。）

　　2、難點：作相關點法求動點的軌跡方法。

　　（解決辦法：先使學生了解相關點法的思路，再用例題進行講解。）

　　教具準備：與教材內容相關的資料。

　　教學設想：激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神。

　　三、教學過程

　　（一）復習引入

　　大家知道，平面解析幾何研究的主要問題是：

　　（1）根據已知條件，求出表示平面曲線的方程；

　　（2）通過方程，研究平面曲線的性質。

　　我們已經對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進行過這兩個方面的研究，今天在上面已經研究的基礎上來對根據已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進行系統分析。

　　（二）幾種常見求軌跡方程的方法

　　1、直接法

　　由題設所給（或通過分析圖形的幾何性質而得出）的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法。

　　例1（1）求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點P的軌跡方程；

　　（2）過點A（a，o）作圓O∶x2+y2=R2（a＞R＞o）的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡。

　　對（1）分析：

　　動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點P的運動規律：|OP|=2R或|OP|=0。

　　解：設動點P（x，y），則有|OP|=2R或|OP|=0。

　　即x2+y2=4R2或x2+y2=0。

　　故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0。

　　對（2）分析：

　　題設中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質而得出，即圓心與弦的中點連線垂直于弦，它們的斜率互為負倒數。由學生演板完成，解答為：

　　設弦的中點為M（x，y），連結OM，則OM⊥AM。∵kOM·kAM=—1，

　　其軌跡是以OA為直徑的圓在圓O內的一段弧（不含端點）。

　　2、定義法

　　利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法。這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件。

　　直平分線l交半徑OQ于點P（見圖2－45），當Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程。

　　分析：

　　∵點P在AQ的垂直平分線上，∴|PQ|=|PA|。

　　又P在半徑OQ上。∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R。

　　故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義

　　寫出P點的軌跡方程。

　　解：連接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|。

　　又P在半徑OQ上。∴|PO|+|PQ|=2。

　　由橢圓定義可知：P點軌跡是以O、A為焦點的橢圓。

　　3、相關點法

　　若動點P（x，y）隨已知曲線上的點Q（x0，y0）的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程。這種方法稱為相關點法（或代換法）。

　　例3 已知拋物線y2=x+1，定點A（3，1）、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程。

　　分析：

　　P點運動的原因是B點在拋物線上運動，因此B可作為相關點，應先找出點P與點B的聯系。

　　解：設點P（x，y），且設點B（x0，y0）

　　∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內分點。

　　4、待定系數法

　　求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數法求。

　　例4 已知拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲

　　曲線方程。

　　分析：

　　因為雙曲線以坐標軸為對稱軸，實軸在y軸上，所以可設雙曲線方

　　ax2—4b2x+a2b2=0

　　∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應相等，因此方程ax2—4b2x+a2b2=0應有等根。

　　∴△=16b4—4a4b2=0，即a2=2b。

　　（以下由學生完成）

　　由弦長公式得：

　　即a2b2=4b2—a2。

　　（三）鞏固練習

　　用十多分鐘時間作一個小測驗，檢查一下教學效果。練習題用一小黑板給出。

　　1、△ABC一邊的兩個端點是B（0，6）和C（0，—6），另兩邊斜率的

　　2、點P與一定點F（2，0）的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？

　　3、求拋物線y2=2px（p＞0）上各點與焦點連線的中點的軌跡方程。

　　答案：

　　義法）

　　由中點坐標公式得：

　　（四）、教學反思

　　求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關點法、待定系數法，還有參數法、復數法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數方程、復數以后再作介紹。

　　四、布置作業

　　1、兩定點的距離為6，點M到這兩個定點的距離的平方和為26，求點M的軌跡方程。

　　2、動點P到點F1（1，0）的距離比它到F2（3，0）的距離少2，求P點的軌跡。

　　3、已知圓x2+y2=4上有定點A（2，0），過定點A作弦AB，并延長到點P，使3|AB|=2|AB|，求動點P的軌跡方程。

　　作業答案：

　　1、以兩定點A、B所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，得點M的軌跡方程x2+y2=4。

　　2、∵|PF2|—|PF|=2，且|F1F2|∴P點只能在x軸上且x＜1，軌跡是一條射線。

高二數學教案 13

　　一、教材分析

　　【教材地位及作用】

　　基本不等式又稱為均值不等式，選自北京師范大學出版社普通高中課程標準實驗教科書數學必修5第3章第3節內容。教學對象為高二學生，本節課為第一課時，重在研究基本不等式的證明及幾何意義。本節課是在系統的學習了不等關系和掌握了不等式性質的基礎上展開的，作為重要的基本不等式之一,為后續進一步了解不等式的性質及運用，研究最值問題奠定基礎。因此基本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用，它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材，所以基本不等式應重點研究。

　　【教學目標】

　　依據《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況，特確定如下目標：

　　知識與技能目標：理解掌握基本不等式，理解算數平均數與幾何平均數的概念，學會構造條件使用基本不等式;

　　過程與方法目標：通過探究基本不等式，使學生體會知識的形成過程，培養分析、解決問題的能力;

　　情感與態度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養學生善于思考、勤于動手的良好品質。

　　【教學重難點】

　　重點：理解掌握基本不等式，能借助幾何圖形說明基本不等式的意義。

　　難點：利用基本不等式推導不等式.

　　關鍵是對基本不等式的理解掌握.

　　二、教法分析

　　本節課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發誘導、講練結合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發，放手讓學生探究思索。利用多媒體輔助教學，直觀地反映了教學內容，使學生思維活動得以充分展開，從而優化了教學過程，大大提高了課堂教學效率.

　　三、學法指導

　　新課改的精神在于以學生的發展為本，把學習的主動權還給學生，倡導積極主動，勇于探索的學習方法，因此，本課主要采取以自主探索與合作交流的學習方式，通過讓學生想一想，做一做，用一用，建構起自己的知識，使學生成為學習的主人。

　　四、教學過程

　　教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程，符合學生的認知規律，使數學教學過程成為學生對知識的再創造、再發現的過程，從而培養學生的創新意識。

　　具體過程安排如下：

　　(一)基本不等式的教學設計創設情景，提出問題

　　設計意圖：數學教育必須基于學生的“數學現實”，現實情境問題是數學教學的平臺，數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實.基于此,設置如下情境:

　　上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。

　　[問題1]請觀察會標圖形，圖中有哪些特殊的幾何圖形?它們在面積上有哪些相等關系和不等關系?(讓學生分組討論)

　　(二)探究問題，抽象歸納

　　基本不等式的教學設計1.探究圖形中的不等關系

　　形的角度----(利用多媒體展示會標圖形的變化,引導學生發現四個直角三角形的面積之和小于或等于正方形的面積.)

　　數的角度

　　[問題2]若設直角三角形的兩直角邊分別為a、b,應怎樣表示這種不等關系?

　　學生討論結果：。

　　[問題3]大家看，這個圖形里還真有點奧妙。我們從圖中找到了一個不等式。這里a、b的取值有沒有什么限制條件?不等式中的等號什么時候成立呢?(師生共同探索)

　　咱們再看一看圖形的變化，(教師演示)

　　(學生發現)當a=b四個直角三角形都變成了等腰直角三角形，他們的面積和恰好等于正方形的面積，即.探索結論：我們得到不等式，當且僅當時等號成立。

　　設計意圖：本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數量關系，抽象出不等式基本不等式的教學設計。在此基礎上，引導學生認識基本不等式。

　　2.抽象歸納：

　　一般地，對于任意實數a,b，有，當且僅當a=b時，等號成立。

　　[問題4]你能給出它的證明嗎?

　　學生在黑板上板書。

　　[問題5]特別地，當時，在不等式中，以、分別代替a、b，得到什么?

　　學生歸納得出。

　　設計意圖：類比是學習數學的一種重要方法，此環節不僅讓學生理解了基本不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數思想，為今后學習奠定基礎.

　　【歸納總結】

　　如果a,b都是非負數，那么，當且僅當a=b時，等號成立。

　　我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a,b的算術平均數，稱為a,b的幾何平均數。

　　3.探究基本不等式證明方法：

　　[問題6]如何證明基本不等式?

　　設計意圖：在于引領學生從感性認識基本不等式到理性證明，實現從感性認識到理性認識的升華，前面是從幾何圖形中的面積關系獲得不等式的，下面用代數的思想，利用不等式的性質直接推導這個不等式。

　　方法一：作差比較或由基本不等式的教學設計展開證明。

　　方法二：分析法

　　要證

　　只要證2

　　要證,只要證2

　　要證,只要證

　　顯然,是成立的。當且僅當a=b時,中的等號成立。

　　4.理解升華

　　1)文字語言敘述：

　　兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

　　2)符號語言敘述：

　　若，則有，當且僅當a=b時，。

　　[問題7]怎樣理解“當且僅當”?(學生小組討論，交流看法，師生總結)

　　“當且僅當a=b時，等號成立”的含義是：

　　當a=b時，取等號，即;

　　僅當a=b時，取等號，即。

　　3)探究基本不等式的幾何意義：

　　基本不等式的教學設計借助初中階段學生熟知的幾何圖形，引導學生探究不等式的幾何解釋，通過數形結合，賦予不等式幾何直觀。進一步領悟不等式中等號成立的條件。

　　如圖：AB是圓的直徑，點C是AB上一點，

　　CD⊥AB，AC=a,CB=b，

　　[問題8]你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎?

　　(教師演示，學生直觀感覺)

　　易證RtACDRtDCB，那么CD2=CA·CB

　　即CD=.

　　這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當且僅當點C與圓心重合，即a=b時，等號成立.

　　因此：基本不等式幾何意義可認為是：在同一半圓中，半徑不小于半弦(直徑是最長的弦);或者認為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高.

　　4)聯想數列的知識理解基本不等式

　　從形的角度來看，基本不等式具有特定的幾何意義;從數的角度來看，基本不等式揭示了“和”與“積”這兩種結構間的不等關系.

　　[問題9]回憶一下你所學的知識中，有哪些地方出現過“和”與“積”的結構?

　　歸納得出:

　　均值不等式的代數解釋為:兩個正數的等差中項不小它們的等比中項.

　　基本不等式的教學設計(四)體會新知，遷移應用

　　例1：(1)設均為正數，證明不等式：基本不等式的教學設計

　　(2)如圖：AB是圓的直徑，點C是AB上一點，設AC=a,CB=b，

　　，過作交于，你能利用這個圖形得出這個不等式的一種幾何解釋嗎?

　　設計意圖：以上例題是根據基本不等式的使用條件中的難點和關鍵處設置的，目的是利用學生原有的平面幾何知識，進一步領悟到不等式成立的條件，及當且僅當時，等號成立。這里完全放手讓學生自主探究，老師指導，師生歸納總結。

　　(五)演練反饋，鞏固深化

　　公式應用之一：

　　1.試判斷與與2的大小關系?

　　問題：如果將條件“x>0”去掉，上述結論是否仍然成立?

　　2.試判斷與7的大小關系?

　　公式應用之二：

　　設計意圖：新穎有趣、簡單易懂、貼近生活的問題,不僅極大地增強學生的興趣，拓寬學生的視野，更重要的是調動學生探究鉆研的興趣，引導學生加強對生活的關注，讓學生體會：數學就在我們身邊的生活中

　　(1)用一個兩臂長短有差異的天平稱一樣物品，有人說只要左右各秤一次，將兩次所稱重量相加后除以2就可以了.你覺得這種做法比實際重量輕了還是重了?

　　(2)甲、乙兩商場對單價相同的同類產品進行促銷.甲商場采取的促銷方式是在原價p折的基礎上再打q折;乙商場的促銷方式則是兩次都打折.對顧客而言，哪種打折方式更合算?(0≠q)

　　(五)反思總結，整合新知：

　　通過本節課的學習你有什么收獲?取得了哪些經驗教訓?還有哪些問題需要請教?

　　設計意圖：通過反思、歸納，培養概括能力;幫助學生總結經驗教訓，鞏固知識技能，提高認知水平.從各種角度對均值不等式進行總結，目的是為了讓學生掌握本節課的重點，突破難點

　　老師根據情況完善如下：

　　知識要點：

　　(1)重要不等式和基本不等式的條件及結構特征

　　(2)基本不等式在幾何、代數及實際應用三方面的意義

　　思想方法技巧：

　　(1)數形結合思想、“整體與局部”

　　(2)歸納與類比思想

　　(3)換元法、比較法、分析法

　　(七)布置作業，更上一層

　　1.閱讀作業:預習基本不等式的教學設計

　　2.書面作業:已知a，b為正數，證明不等式基本不等式的教學設計

　　3.思考題:類比基本不等式，當a,b,c均為正數，猜想會有怎樣的不等式?

　　設計意圖：作業分為三種形式，體現作業的鞏固性和發展性原則，同時考慮學生的差異性。閱讀作業是后續課堂的鋪墊，而思考題不做統一要求，供學有余力的學生課后研究。

　　五、評價分析

　　1.在建立新知的過程中，教師力求引導、啟發，讓學生逐步應用所學的知識來分析問題、解決問題，以形成比較系統和完整的知識結構。每個問題在設計時，充分考慮了學生的具體情況，力爭提問準確到位，便于學生思考和回答。使思考和提問持續在學生的最近發展區內，學生的思考有價值，對知識的理解和掌握在不斷的思考和討論中完善和加深。

　　2.本節的教學中要求學生對基本不等式在數與形兩個方面都有比較充分的認識，特別強調數與形的統一，教學過程從形得到數，又從數回到形，意圖使學生在比較中對基本不等式得以深刻理解。“數形結合”作為一種重要的數學思想方法，不是教師提一提學生就能夠掌握并且會用的，只有學生通過實踐，意識到它的好處之后，學生才會在解決問題時去嘗試使用，只有通過不斷的使用才能促進學生對這種思想方法的再理解，從而達到掌握它的目的。

高二數學教案 14

　　課題：命題

　　課時：001

　　課型：新授課

　　教學目標

　　１、知識與技能：理解命題的概念和命題的構成，能判斷給定陳述句是否為命題，能判斷命題的真假；能把命題改寫成“若p，則q”的形式；

　　２、過程與方法：多讓學生舉命題的例子，培養他們的辨析能力；以及培養他們的分析問題和解決問題的能力；

　　３、情感、態度與價值觀：通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。

　　教學重點與難點

　　重點：命題的概念、命題的構成

　　難點：分清命題的條件、結論和判斷命題的真假

　　教學過程

　　一、復習回顧

　　引入：初中已學過命題的知識，請同學們回顧：什么叫做命題？

　　二、新課教學

　　下列語句的表述形式有什么特點？你能判斷他們的真假嗎？

　　（1）若直線a∥b，則直線a與直線b沒有公共點．

　　（2）2+4=7．

　　（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行．

　　（4）若x2=1，則x=1．

　　（5）兩個全等三角形的面積相等．

　　（6）３能被２整除．

　　討論、判斷：學生通過討論，總結：所有句子的表述都是陳述句的形式，每句話都判斷什么事情。其中（1）（3）（5）的判斷為真，（2）（4）（6）的判斷為假。

　　教師的引導分析：所謂判斷，就是肯定一個事物是什么或不是什么，不能含混不清。

　　抽象、歸納：

　　1、命題定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．

　　命題的定義的要點：能判斷真假的陳述句．

　　在數學課中，只研究數學命題，請學生舉幾個數學命題的例子．教師再與學生共同從命題的定義，判斷學生所舉例子是否是命題，從“判斷”的角度來加深對命題這一概念的理解．

　　例1：判斷下列語句是否為命題？

　　（1）空集是任何集合的子集．

　　（2）若整數a是素數，則是a奇數．

　　（3）指數函數是增函數嗎？

　　（4）若平面上兩條直線不相交，則這兩條直線平行．

　　（5）＝－２．

　　（6）x＞１５．

　　讓學生思考、辨析、討論解決，且通過練習，引導學生總結：判斷一個語句是不是命題，關鍵看兩點：第一是“陳述句”，第二是“可以判斷真假”，這兩個條件缺一不可．疑問句、祈使句、感嘆句均不是命題．

　　解略。

　　引申：以前，同學們學習了很多定理、推論，這些定理、推論是否是命題？同學們可否舉出一些定理、推論的例子來看看？

　　通過對此問的思考，學生將清晰地認識到定理、推論都是命題．

　　過渡：同學們都知道，一個定理或推論都是由條件和結論兩部分構成（結合學生所舉定理和推論的例子，讓學生分辨定理和推論條件和結論，明確所有的定理、推論都是由條件和結論兩部分構成）。緊接著提出問題：命題是否也是由條件和結論兩部分構成呢？

　　2、命題的構成――條件和結論

　　定義：從構成來看，所有的命題都具由條件和結論兩部分構成．在數學中，命題常寫成“若p，則q”或者“如果p，那么q”這種形式，通常，我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件，q叫做命題結論．

　　例2：指出下列命題中的條件p和結論q，并判斷各命題的真假．

　　（１）若整數a能被２整除，則a是偶數．

　　（２）若四邊行是菱形，則它的對角線互相垂直平分．

　　（３）若a＞0，b＞0，則a+b＞0．

　　（４）若a＞0，b＞0，則a+b＜0．

　　（５）垂直于同一條直線的兩個平面平行．

　　此題中的（１）（２）（３）（４），較容易，估計學生較容易找出命題中的條件p和結論q，并能判斷命題的真假。其中設置命題（３）與（４）的目的在于：通過這兩個例子的比較，學更深刻地理解命題的定義——能判斷真假的陳述句，不管判斷的結果是對的還是錯的。

　　此例中的命題（５），不是“若P，則q”的形式，估計學生會有困難，此時，教師引導學生一起分析：已知的事項為“條件”，由已知推出的事項為“結論”．

　　解略。

　　過渡：從例２中，我們可以看到命題的兩種情況，即有些命題的結論是正確的，而有些命題的結論是錯誤的，那么我們就有了對命題的一種分類：真命題和假命題．

　　3、命題的分類

　　真命題：如果由命題的條件P通過推理一定可以得出命題的結論q，那么這樣的命題叫做真命題．

　　假命題：如果由命題的條件P通過推理不一定可以得出命題的結論q，那么這樣的命題叫做假命題．

　　強調：

　　（１）注意命題與假命題的區別．如：“作直線AB”．這本身不是命題．也更不是假命題．

　　（２）命題是一個判斷，判斷的結果就有對錯之分．因此就要引入真命題、假命題的的概念，強調真假命題的大前提，首先是命題。

　　判斷一個數學命題的真假方法：

　　（１）數學中判定一個命題是真命題，要經過證明．

　　（２）要判斷一個命題是假命題，只需舉一個反例即可．

　　例３：把下列命題寫成“若P，則q”的形式，并判斷是真命題還是假命題：

　　（1）面積相等的兩個三角形全等。

　　（2）負數的立方是負數。

　　（3）對頂角相等。

　　分析：要把一個命題寫成“若P，則q”的形式，關鍵是要分清命題的條件和結論，然后寫成“若條件，則結論”即“若P，則q”的形式．解略。

　　三、鞏固練習：

　　P４第2，3。

　　四、作業：

　　P8：習題1．1A組~第1題

　　五、教學反思

　　師生共同回憶本節的學習內容．

　　1、什么叫命題？真命題？假命題？

　　2、命題是由哪兩部分構成的？

　　3、怎樣將命題寫成“若P，則q”的形式．

　　4、如何判斷真假命題．

高二數學教案 15

　　簡單的邏輯聯結詞

　　(一)教學目標

　　1.知識與技能目標：

　　(1) 掌握邏輯聯結詞且的含義

　　(2) 正確應用邏輯聯結詞且解決問題

　　(3) 掌握真值表并會應用真值表解決問題

　　2.過程與方法目標：

　　在觀察和思考中，在解題和證明題中，本節課要特別注重學生思維的嚴密性品質的培養.

　　3.情感態度價值觀目標：

　　激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神.

　　(二)教學重點與難點

　　重點：通過數學實例，了解邏輯聯結詞且的含義，使學生能正確地表述相關數學內容。

　　難點：

　　1、正確理解命題Pq真假的規定和判定.

　　2、簡潔、準確地表述命題Pq.

　　教具準備：與教材內容相關的資料。

　　教學設想：在觀察和思考中，在解題和證明題中，本節課要特別注重學生思維的嚴密性品質的培養.

　　(三)教學過程

　　學生探究過程：

　　1、引入

　　在當今社會中，人們從事任何工作、學習，都離不開邏輯.具有一定邏輯知識是構成一個公民的文化素質的重要方面.數學的特點是邏輯性強，特別是進入高中以后，所學的數學比初中更強調邏輯性.如果不學習一定的邏輯知識，將會在我們學習的過程中不知不覺地經常犯邏輯性的錯誤.其實，同學們在初中已經開始接觸一些簡易邏輯的知識.

　　在數學中，有時會使用一些聯結詞，如且或非。在生活用語中，我們也使用這些聯結詞，但表達的含義和用法與數學中的含義和用法不盡相同。下面介紹數學中使用聯結詞且或非聯結命題時的含義和用法。

　　為敘述簡便，今后常用小寫字母p，q，r，s，表示命題。(注意與上節學習命題的條件p與結論q的區別)

　　2、思考、分析

　　問題1：下列各組命題中，三個命題間有什么關系?

　　①12能被3整除;

　　②12能被4整除;

　　③12能被3整除且能被4整除。

　　學生很容易看到，在第(1)組命題中，命題③是由命題①②使用聯結詞且聯結得到的新命題。

　　問題2：以前我們有沒有學習過象這樣用聯結詞且聯結的命題呢?你能否舉一些例子?

　　例如：命題p：菱形的對角線相等且菱形的對角線互相平分。

　　3、歸納定義

　　一般地，用聯結詞且把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，記作pq，讀作p且q。