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      線性代數知識點總結

      時間:2023-05-26 18:51:05 總結 我要投稿
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      線性代數知識點總結

        線性代數是數學的一個分支,它的研究對象是向量,向量空間,線性變換和有限維的線性方程組。下面是小編想跟大家分享的線性代數知識點總結,歡迎大家瀏覽。

      線性代數知識點總結

        線性代數知識點總結 篇1

        第一章行列式

        知識點1:行列式、逆序數

        知識點2:余子式、代數余子式

        知識點3:行列式的性質

        知識點4:行列式按一行(列)展開公式

        知識點5:計算行列式的方法

        知識點6:克拉默法則

        第二章矩陣

        知識點7:矩陣的概念、線性運算及運算律

        知識點8:矩陣的乘法運算及運算律

        知識點9:計算方陣的冪

        知識點10:轉置矩陣及運算律

        知識點11:伴隨矩陣及其性質

        知識點12:逆矩陣及運算律

        知識點13:矩陣可逆的判斷

        知識點14:方陣的行列式運算及特殊類型的矩陣的運算

        知識點15:矩陣方程的求解

        知識點16:初等變換的概念及其應用

        知識點17:初等方陣的概念

        知識點18:初等變換與初等方陣的關系

        知識點19:等價矩陣的概念與判斷

        知識點20:矩陣的子式與最高階非零子式

        知識點21:矩陣的秩的概念與判斷

        知識點22:矩陣的.秩的性質與定理

        知識點23:分塊矩陣的概念與運算、特殊分塊陣的運算

        知識點24:矩陣分塊在解題中的技巧舉例

        第三章向量

        知識點25:向量的概念及運算

        知識點26:向量的線性組合與線性表示

        知識點27:向量組之間的線性表示及等價

        知識點28:向量組線性相關與線性無關的概念

        知識點29:線性表示與線性相關性的關系

        知識點30:線性相關性的判別法

        知識點31:向量組的最大線性無關組和向量組的秩的概念

        知識點32:矩陣的秩與向量組的秩的關系

        知識點33:求向量組的最大無關組

        知識點34:有關向量組的定理的綜合運用

        知識點35:內積的概念及性質

        知識點36:正交向量組、正交陣及其性質

        知識點37:向量組的正交規范化、施密特正交化方法

        知識點38:向量空間(數一)

        知識點39:基變換與過渡矩陣(數一)

        知識點40:基變換下的坐標變換(數一)

        第四章 線性方程組

        知識點41:齊次線性方程組解的性質與結構

        知識點42:非齊次方程組解的性質及結構

        知識點43:非齊次線性線性方程組解的各種情形

        知識點44:用初等行變換求解線性方程組

        知識點45:線性方程組的公共解、同解

        知識點46:方程組、矩陣方程與矩陣的乘法運算的關系

        知識點47:方程組、矩陣與向量之間的聯系及其解題技巧舉例

        第五章矩陣的特征值與特征向量

        知識點48:特征值與特征向量的概念與性質

        知識點49:特征值和特征向量的求解

        知識點50:相似矩陣的概念及性質

        知識點51:矩陣的相似對角化

        知識點52:實對稱矩陣的相似對角化.

        知識點53:利用相似對角化求矩陣和矩陣的冪

        第六章二次型

        知識點54:二次型及其矩陣表示

        知識點55:矩陣的合同

        知識點56 : 矩陣的等價、相似與合同的關系

        知識點57:二次型的標準形

        知識點58:用正交變換化二次型為標準形

        知識點59:用配方法化二次型為標準形

        知識點60:正定二次型的概念及判斷

        線性代數知識點總結 篇2

        行列式

        一、行列式概念和性質

        1、逆序數:所有的逆序的總數

        2、行列式定義:不同行不同列元素乘積代數和

        3、行列式性質:(用于化簡行列式)

       。1)行列互換(轉置),行列式的值不變

       。2)兩行(列)互換,行列式變號

        (3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一數k,等于用數k乘此行列式

       。4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是兩組數之和,那么這個行列式就等于兩個行列式之和。

        (5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不變。

        (6)兩行成比例,行列式的值為0。

        二、重要行列式

        1、上(下)三角(主對角線)行列式的值等于主對角線元素的乘積

        2、副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘

        3、Laplace展開式:(A是m階矩陣,B是n階矩陣),則


        4、n階(n≥2)范德蒙德行列式


        ★5、對角線的元素為a,其余元素為b的行列式的值:


        三、按行(列)展開

        1、按行展開定理:

       。1)任一行(列)的各元素與其對應的代數余子式乘積之和等于行列式的值

       。2)行列式中某一行(列)各個元素與另一行(列)對應元素的代數余子式乘積之和等于0

        四、克萊姆法則

        1、克萊姆法則:

        (1)非齊次線性方程組的系數行列式不為0,那么方程為唯一解

       。2)如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解,則它的系數行列式必為0

        (3)若齊次線性方程組的系數行列式不為0,則齊次線性方程組只有0解;如果方程組有非零解,那么必有D=0。


        矩陣

        一、矩陣的運算

        1、矩陣乘法注意事項:

       。1)矩陣乘法要求前列后行一致;

       。2)矩陣乘法不滿足交換律;(因式分解的公式對矩陣不適用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)時,可以用交換律)

       。3)AB=O不能推出A=O或B=O。

        二、矩陣的逆運算

        1、逆的求法:

        (1)A為抽象矩陣:由定義或性質求解

       。2)A為數字矩陣:(A|E)→初等行變換→(E|A-1)

        三、矩陣的初等變換

        1、初等行(列)變換定義:

       。1)兩行(列)互換;

       。2)一行(列)乘非零常數c

       。3)一行(列)乘k加到另一行(列)

        ★四、矩陣的秩

        1、秩的定義:非零子式的最高階數

        注:

       。1)r(A)=0意味著所有元素為0,即A=O

        (2)r(An×n)=n(滿秩)←→|A|≠0←→A可逆;r(A)<n←→|A|=0←→A不可逆;

       。3)r(A)=r(r=1、2、…、n-1)←→r階子式非零且所有r+1子式均為0。

        2、秩的求法:

       。1)A為抽象矩陣:由定義或性質求解;

       。2)A為數字矩陣:A→初等行變換→階梯型(每行第一個非零元素下面的元素均為0),則r(A)=非零行的行數

        五、伴隨矩陣

        六、分塊矩陣

        1、分塊矩陣的乘法:要求前列后行分法相同。

        2、分塊矩陣求逆:


        向量

        一、向量的概念及運算

        1、長度定義:||α||=

        二、線性組合和線性表示

        1、線性表示的`充要條件:

        非零列向量β可由α1,α2,…,αs線性表示

        (1)←→非齊次線性方程組(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=β有解。

        ★(2)←→r(α1,α2,…,αs)=r(α1,α2,…,αs,β)(系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,用于大題第一步的檢驗)

        2、線性表示的充分條件:

        若α1,α2,…,αs線性無關,α1,α2,…,αs,β線性相關,則β可由α1,α2,…,αs線性表示。

        3、線性表示的求法:(大題第二步)

        設α1,α2,…,αs線性無關,β可由其線性表示。

       。é1,α2,…,αs|β)→初等行變換→(行最簡形|系數)

        行最簡形:每行第一個非0的數為1,其余元素均為0

        三、線性相關和線性無關

        1、線性相關注意事項:

       。1)α線性相關←→α=0

       。2)α1,α2線性相關←→α1,α2成比例

        2、線性相關的充要條件:

        向量組α1,α2,…,αs線性相關

       。1)←→有個向量可由其余向量線性表示;

       。2)←→齊次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解;

        ★(3)←→r(α1,α2,…,αs)<s 即秩小于個數

        3、線性相關的充分條件:

       。1)向量組含有零向量或成比例的向量必相關

        (4)以少表多,多必相關

        ★推論:n+1個n維向量一定線性相關

        4、線性無關的充要條件:

        向量組α1,α2,…,αs線性無關

       。1)←→任意向量均不能由其余向量線性表示;

        (2)←→齊次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解

       。3)←→r(α1,α2,…,αs)=s

        特別地,n個n維向量α1,α2,…,αn線性無關

        ←→r(α1,α2,…,αn)=n ←→|α1,α2,…,αn |≠0 ←→矩陣可逆

        5、線性無關的充分條件:

       。1)整體無關,部分無關

        (2)低維無關,高維無關

        (3)正交的非零向量組線性無關

       。4)不同特征值的特征向量無關

        6、線性相關、線性無關判定

       。1)定義法

        ★(2)秩:若小于階數,線性相關;若等于階數,線性無關

        四、極大線性無關組與向量組的秩

        1、極大線性無關組不唯一

        2、向量組的秩:極大無關組中向量的個數成為向量組的秩

        對比:矩陣的秩:非零子式的最高階數

        ★注:

        向量組α1,α2,…,αs的秩與矩陣A=(α1,α2,…,αs)的秩相等

        ★3、極大線性無關組的求法

       。1)α1,α2,…,αs為抽象的:定義法

       。2)α1,α2,…,αs為數字的:(α1,α2,…,αs)→初等行變換→階梯型矩陣

        則每行第一個非零的數對應的列向量構成極大無關組

        五、Schmidt正交化

        1、Schmidt正交化

        設α1,α2,α3線性無關

        (1)正交化

        令β1=α1


       。2)單位化


        線性方程組

        一、解的判定與性質

        1、齊次方程組:

        (1)只有零解←→r(A)=n(n為A的列數或是未知數x的個數)

       。2)有非零解←→r(A)<n

        2、非齊次方程組:

       。1)無解←→r(A)<r(A|b)←→r(A)=r(A)-1

       。2)唯一解←→r(A)=r(A|b)=n

       。3)無窮多解←→r(A)=r(A|b)<n

        3、解的性質:

        (1)若ξ1,ξ2是Ax=0的解,則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

        (2)若ξ是Ax=0的解,η是Ax=b的解,則ξ+η是Ax=b的解

       。3)若η1,η2是Ax=b的解,則η1-η2是Ax=0的解

        二、基礎解系

        ★1、重要結論:(證明也很重要)

        設A是m×n階矩陣,B是n×s階矩陣,AB=O

        (1)B的列向量均為方程Ax=0的解

       。2)r(A)+r(B)≤n

        2、總結:基礎解系的求法

       。1)A為抽象的:由定義或性質湊n-r(A)個線性無關的解

       。2)A為數字的:A→初等行變換→階梯型

        自由未知量分別取1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由未知量得到基礎解系

        三、解的結構(通解)

        1、齊次線性方程組的通解(所有解)

        設r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r為Ax=0的基礎解系,

        則Ax=0的通解為k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r (其中k1,k2,…,kn-r為任意常數)

        2、非齊次線性方程組的通解

        設r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r為Ax=0的基礎解系,η為Ax=b的特解,

        則Ax=b的通解為η+ k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r (其中k1,k2,…,kn-r為任意常數)

        特征值與特征向量

        一、矩陣的特征值與特征向量

        1、特征值、特征向量的定義:

        設A為n階矩陣,如果存在數λ及非零列向量α,使得Aα=λα,稱α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量。

        2、特征多項式、特征方程的定義:

        |λE-A|稱為矩陣A的特征多項式(λ的n次多項式)。

        |λE-A |=0稱為矩陣A的特征方程(λ的n次方程)。

        注:特征方程可以寫為|A-λE|=0

        3、重要結論:

        (1)若α為齊次方程Ax=0的非零解,則Aα=0·α,即α為矩陣A特征值λ=0的特征向量

        (2)A的各行元素和為k,則(1,1,…,1)T為特征值為k的特征向量。

       。3)上(下)三角或主對角的矩陣的特征值為主對角線各元素。

        △4、總結:特征值與特征向量的求法

       。1)A為抽象的:由定義或性質湊

       。2)A為數字的:由特征方程法求解

        5、特征方程法:

        (1)解特征方程|λE-A|=0,得矩陣A的n個特征值λ1,λ2,…,λn

        注:n次方程必須有n個根(可有多重根,寫作λ1=λ2=…=λs=實數,不能省略)

       。2)解齊次方程(λiE-A)=0,得屬于特征值λi的線性無關的特征向量,即其基礎解系(共n-r(λiE-A)個解)

        二、相似矩陣

        1、相似矩陣的定義:

        設A、B均為n階矩陣,如果存在可逆矩陣P使得B=P-1AP,稱A與B相似,記作A~B

        2、相似矩陣的性質

       。1)若A與B相似,則f(A)與f(B)相似

        (2)若A與B相似,B與C相似,則A與C相似

       。3)相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡(即主對角線元素之和)

        三、矩陣的相似對角化

        1、相似對角化定義:如果A與對角矩陣相似,即存在可逆矩陣P,使得P-1AP=Λ=


        稱A可相似對角化。

        2、相似對角化的充要條件

       。1)A有n個線性無關的特征向量

       。2)A的k重特征值有k個線性無關的特征向量

        3、相似對角化的充分條件:

       。1)A有n個不同的特征值(不同特征值的特征向量線性無關)

        (2)A為實對稱矩陣

        4、重要結論:

        (1)若A可相似對角化,則r(A)為非零特征值的個數,n-r(A)為零特征值的個數

        (2)若A不可相似對角化,r(A)不一定為非零特征值的個數

        四、實對稱矩陣

        1、性質

        (1)特征值全為實數

       。2)不同特征值的特征向量正交

        (3)A可相似對角化,即存在可逆矩陣P使得P-1AP=Λ

        (4)A可正交相似對角化,即存在正交矩陣Q,使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

        二次型

        一、二次型及其標準形

        1、二次型:

       。1)一般形式

        (2)矩陣形式(常用)

        2、標準形:

        如果二次型只含平方項,這樣的二次型稱為標準形(對角線)

        3、二次型化為標準形的方法:

        (1)配方法:

        ★(2)正交變換法:

        二、慣性定理及規范形

        1、定義:

        正慣性指數:標準形中正平方項的個數稱為正慣性指數,記為p;

        負慣性指數:標準形中負平方項的個數稱為負慣性指數,記為q;

        2、慣性定理:

        二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標準形,其正負慣性指數不變。

        注:

       。1)由于正負慣性指數不變,所以規范形唯一。

        (2)p=正特征值的個數,q=負特征值的個數,p+q=非零特征值的個數=r(A)

        三、合同矩陣

        1、定義:

        A、B均為n階實對稱矩陣,若存在可逆矩陣C,使得B=CTAC,稱A與B合同

        △2、總結:n階實對稱矩陣A、B的關系

       。1)A、B相似(B=P-1AP)←→相同的特征值

       。2)A、B合同(B=CTAC)←→相同的正負慣性指數←→相同的正負特征值的個數

       。3)A、B等價(B=PAQ)←→r(A)=r(B)

        注:實對稱矩陣相似必合同,合同必等價

        四、正定二次型與正定矩陣

        1、正定的定義

        二次型xTAx,如果任意x≠0,恒有xTAx>0,則稱二次型正定,并稱實對稱矩陣A是正定矩陣。

        2、n元二次型xTAx正定充要條件:

        (1)A的正慣性指數為n

       。2)A與E合同,即存在可逆矩陣C,使得A=CTC或CTAC=E

        (3)A的特征值均大于0

       。4)A的順序主子式均大于0(k階順序主子式為前k行前k列的行列式)

        3、總結:二次型正定判定(大題)

       。1)A為數字:順序主子式均大于0

       。2)A為抽象:①證A為實對稱矩陣:AT=A;②再由定義或特征值判定

        4、重要結論:

       。1)若A是正定矩陣,則kA(k>0),Ak,AT,A-1,A*正定

        (2)若A、B均為正定矩陣,則A+B正定

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