<menuitem id="r3jhr"></menuitem><noscript id="r3jhr"><progress id="r3jhr"><code id="r3jhr"></code></progress></noscript>

      函數的性質知識點總結

      時間:2021-03-30 12:52:25 總結 我要投稿

      函數的性質知識點總結

        眾所周知,函數是重點也是難點哈,函數性質,圖像以及零點和分段函數是高考的熱點哦,下面是小編為大家收集整理的函數的性質知識點總結,歡迎閱讀。

      函數的性質知識點總結

        一次函數

        一、定義與定義式:

        自變量x和因變量y有如下關系:

        y=kx+b

        則此時稱y是x的一次函數。

        特別地,當b=0時,y是x的正比例函數。

        即:y=kx (k為常數,k≠0)

        二、一次函數的性質:

        1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例,比值為k

        即:y=kx+b (k為任意不為零的實數 b取任何實數)

        2.當x=0時,b為函數在y軸上的截距。

        三、一次函數的圖像及性質:

        1.作法與圖形:通過如下3個步驟

       。1)列表;

       。2)描點;

       。3)連線,可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此,作一次函數的圖像只需知道2點,并連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點)

        2.性質:(1)在一次函數上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0,b),與x軸總是交于(-b/k,0)正比例函數的圖像總是過原點。

        3.k,b與函數圖像所在象限:

        當k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;

        當k<0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。

        當b>0時,直線必通過一、二象限;

        當b=0時,直線通過原點

        當b<0時,直線必通過三、四象限。

        特別地,當b=O時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函數的圖像。

        這時,當k>0時,直線只通過一、三象限;當k<0時,直線只通過二、四象限。

        四、確定一次函數的表達式:

        已知點A(x1,y1);B(x2,y2),請確定過點A、B的一次函數的表達式。

       。1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。

       。2)因為在一次函數上的任意一點P(x,y),都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程:y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②

        (3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。

       。4)最后得到一次函數的表達式。

        五、一次函數在生活中的應用:

        1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函數。s=vt。

        2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

        六、常用公式:(不全,希望有人補充)

        1.求函數圖像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)

        2.求與x軸平行線段的中點:|x1-x2|/2

        3.求與y軸平行線段的中點:|y1-y2|/2

        4.求任意線段的長:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)

        二次函數

        I.定義與定義表達式

        一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:

        y=ax^2+bx+c

       。╝,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)

        則稱y為x的二次函數。

        二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

        II.二次函數的三種表達式

        一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)

        頂點式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P(h,k)]

        交點式:y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點A(x? ,0)和 B(x?,0)的拋物線]

        注:在3種形式的互相轉化中,有如下關系:

        h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

        III.二次函數的圖像

        在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像,

        可以看出,二次函數的圖像是一條拋物線。

        IV.拋物線的性質

        1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

        x= -b/2a。

        對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

        特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

        2.拋物線有一個頂點P,坐標為

        P( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )

        當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。

        3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

        當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。

        |a|越大,則拋物線的開口越小。

        4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

        當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;

        當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

        5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

        拋物線與y軸交于(0,c)

        6.拋物線與x軸交點個數

        Δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

        Δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

        Δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)

        V.二次函數與一元二次方程

        特別地,二次函數(以下稱函數)y=ax^2+bx+c,

        當y=0時,二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程),

        即ax^2+bx+c=0

        此時,函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

        函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

        1.二次函數y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:

        解析式 頂點坐標對 稱 軸

        y=ax^2(0,0) x=0

        y=a(x-h)^2(h,0) x=h

        y=a(x-h)^2+k(h,k) x=h

        y=ax^2+bx+c(-b/2a,[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a

        當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,

        當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.

        當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

        當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

        當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

        當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

        因此,研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

        2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

        3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而減;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而減。

        4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點:

        (1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0,c);

        (2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

        (a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|

        當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

        當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.

        5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x= -b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

        頂點的橫坐標,是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐標,是最值的取值.

        6.用待定系數法求二次函數的解析式

        (1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:

        y=ax^2+bx+c(a≠0).

        (2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).

        (3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

        7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為復雜的綜合題目。因此,以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現.

        反比例函數

        形如 y=k/x(k為常數且k≠0) 的函數,叫做反比例函數。

        自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。

        反比例函數圖像性質:

        反比例函數的圖像為雙曲線。

        由于反比例函數屬于奇函數,有f(-x)=-f(x),圖像關于原點對稱。

        另外,從反比例函數的解析式可以得出,在反比例函數的圖像上任取一點,向兩個坐標軸作垂線,這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值,為∣k∣。

        如圖,上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函數圖像。

        當K>0時,反比例函數圖像經過一,三象限,是減函數

        當K<0時,反比例函數圖像經過二,四象限,是增函數

        反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸,無法和坐標軸相交。

        知識點:

        1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段,這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為| k |。

        2.對于雙曲線y=k/x ,若在分母上加減任意一個實數 (即 y=k/(x±m)m為常數),就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數時向左平移,減一個數時向右平移)

        對數函數

        對數函數的一般形式為,它實際上就是指數函數 的反函數。因此指數函數里對于a的規定,同樣適用于對數函數。

        右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形:

        可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函數。

       。1)對數函數的定義域為大于0的實數集合。

        (2)對數函數的值域為全部實數集合。

        (3)函數總是通過(1,0)這點。

        (4)a大于1時,為單調遞增函數,并且上凸;a小于1大于0時,函數為單調遞減函數,并且下凹。

       。5)顯然對數函數無界。

        指數函數

       。1) 指數函數的定義域為所有實數的集合,這里的前提是a大于0,對于a不大于0的情況,則必然使得函數的定義域不存在連續的區間,因此我們不予考慮。

        (2) 指數函數的值域為大于0的實數集合。

       。3) 函數圖形都是下凹的。

       。4) a大于1,則指數函數單調遞增;a小于1大于0,則為單調遞減的。

       。5) 可以看到一個顯然的規律,就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0),函數的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置,趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

       。6) 函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。

        (7) 函數總是通過(0,1)這點。

       。8) 顯然指數函數無界。

        奇偶性

        注圖:(1)為奇函數(2)為偶函數

        1.定義

        一般地,對于函數f(x)

       。1)如果對于函數定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數。

       。2)如果對于函數定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數。

        (3)如果對于函數定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立,那么函數f(x)既是奇函數又是偶函數,稱為既奇又偶函數。

       。4)如果對于函數定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立,那么函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數,稱為非奇非偶函數。

        說明:①奇、偶性是函數的整體性質,對整個定義域而言

        ②奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱,如果一個函數的定義域不關于原點對稱,則這個函數一定不是奇(或偶)函數。

       。ǚ治觯号袛嗪瘮档钠媾夹,首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱,然后再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論)

       、叟袛嗷蜃C明函數是否具有奇偶性的根據是定義

        2.奇偶函數圖像的特征:

        定理 奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖表,偶函數的圖象關于y軸或軸對稱圖形。

        f(x)為奇函數《==》f(x)的圖像關于原點對稱

        點(x,y)→(-x,-y)

        奇函數在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上也是單調遞增。

        偶函數 在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上單調遞減。

        3.奇偶函數運算

        (1). 兩個偶函數相加所得的`和為偶函數.

        (2). 兩個奇函數相加所得的和為奇函數.

        (3). 一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數.

        (4). 兩個偶函數相乘所得的積為偶函數.

        (5). 兩個奇函數相乘所得的積為偶函數.

        (6). 一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數.

        定義域

        (高中函數定義)設A,B是兩個非空的數集,如果按某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那么就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函數,記作y=f(x),x屬于集合A。其中,x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數的定義域;

        值域

        名稱定義

        函數中,應變量的取值范圍叫做這個函數的值域函數的值域,在數學中是函數在定義域中應變量所有值的集合

        常用的求值域的方法

       。1)化歸法;(2)圖象法(數形結合),

       。3)函數單調性法,

        (4)配方法,(5)換元法,(6)反函數法(逆求法),(7)判別式法,(8)復合函數法,(9)三角代換法,(10)基本不等式法等

        關于函數值域誤區

        定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本“元件”。平時數學中,實行“定義域優先”的原則,無可置疑。然而事物均具有二重性,在強化定義域問題的同時,往往就削弱或談化了,對值域問題的探究,造成了一手“硬”一手“軟”,使學生對函數的掌握時好時壞,事實上,定義域與值域二者的位置是相當的,絕不能厚此薄皮,何況它們二者隨時處于互相轉化之中(典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化)。如果函數的值域是無限集的話,那么求函數值域不總是容易的,反靠不等式的運算性質有時并不能奏效,還必須聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案,從這個角度來講,求值域的問題有時比求定義域問題難,實踐證明,如果加強了對值域求法的研究和討論,有利于對定義域內函的理解,從而深化對函數本質的認識。

        “范圍”與“值域”相同嗎?

        “范圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念,許多同學常常將它們混為一談,實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函數值的集合(即集合中每一個元素都是這個函數的取值),而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說:“值域”是一個“范圍”,而“范圍”卻不一定是“值域”。

      【函數的性質知識點總結】相關文章:

      余弦函數的性質說課稿11-06

      對數函數的圖像與性質說課稿11-04

      《對數函數及其性質》教學反思04-18

      關于對數函數及其性質測試題08-26

      奇函數的反函數是奇函數嗎10-12

      會議總結的特點和性質09-23

      人教版高一數學必修1說課稿 對數函數及其性質11-02

      高中數學6種三角函數圖像與性質10-12

      對數的性質10-12

      函數與反函數關于什么對稱10-12

      久久亚洲中文字幕精品一区四_久久亚洲精品无码av大香_天天爽夜夜爽性能视频_国产精品福利自产拍在线观看
      <menuitem id="r3jhr"></menuitem><noscript id="r3jhr"><progress id="r3jhr"><code id="r3jhr"></code></progress></noscript>
        中中文字幕亚洲无线码 | 日本免费一级a一片 | 亚洲日韩性爱在线 | 亚洲日韩精品在线 | 在线人成日本视频 | 日韩国际精品一区二区 |